On spanning trees in bipartite graphs

Abstract

В данной работе исследуется гипотеза Эренборга и её различные варианты (сильный -- со сравнением коэффициентов, полусильный -- с домножением на неотрицательный полином так, чтобы выполнялось покоэффициентное неравенство, числовой -- с подстановкой неотрицательных значений переменных). Доказывается, что она верна в классе дистанционно-наследственных графов, причём эта оценка является точной и равенство достигается на графах Феррера-Юнга. Также рассматриваются графы, для которых неверен сильный вариант гипотезы, но выполняются другие варианты (сравнение в неотрицательных точках, покоэффициентное сравнение после домножения на полином). Проверяется, что склеивание графов по ребру сохраняет выполнимость "полусильного" и числового неравенства.

We study Ehrenborg's conjecture in different forms (strong -- by comparing coefficients of fixed monomials, half-strong -- by multiplying both parts by non-negative polynomial such that strong inequality holds, number -- by putting in non-negative values of variables). We prove that for distance-hereditary graphs half-strong conjecture holds, moreover, the equality holds iff graph is Ferrer-Young graph. In addition, we find examples of graphs for which strong conjecture does not hold, but half-strong and number variants do. We also show that operation of gluing graphs by edge preserves half-strong and number variants of conjecture.