Constructing and investigating C–optimal designs for polynomial models with intercept

Abstract

В работе решается задача по нахождению двух специальных типов С-оптимальных планов: экстраполяции и для оценивания производной в модели полиномиальной регрессии без свободного члена. Для обычных полиномиальных моделей планы экстраполяции были изучены еще в 1960-ых годах, а планы для оценивания производной — в недавней работе научного руководителя. Во многих случаях нулевой отклик, то есть начальное положение объекта экспериментирования, уже известен или эта информация нам не важна. Например, работа систем экстренного торможения не зависит от места, где она используется, а при вычислении параметров запуска ракеты всегда известно, с какого космодрома она будет запущена. Поэтому интерес представляют полиномиальные модели начальным элементом. Такие модели еще мало исследованы. В ходе работы проведено сравнение C и D–оптимальных планов. Работа состоит из четырех глав. В первой главе определены следующие понятия: регрессионная модель; план эксперимента; критерии D и C-оптимальности; сформулирована теорема Элвинга, которая применяется для исследования критерия C–оптимальности. Во второй главе исследованы планы экстраполяции. Показано, что решение задачи существенно различается для моделей четной и нечетной степеней. Найдено в явном виде решение для квадратичной и модели четвертой степени. Сформулирована и доказана теорема для общего случая. В третьей главе рассматриваются планы для оценивания производной. Получены явные решения для моделей порядка 2, 3. Для модели 4–ой степени в некоторых точках построен план аналитически, в остальных приведен алгоритм нахождения оптимального плана. В четвертой главе проведено сравнение оптимальных планов экстраполяции и D–оптимальных планов, а также сравнение планов для оценивания производных с D–оптимальными для моделей четвертого порядка.

The paper solves the problem of finding two special types of C-optimal plans: extrapolation and to estimate the derivative in a polynomial model regression without free member. For conventional polynomial models, extrapolation plans the plans for estimating the derivative were studied in the 1960s - in the recent work of the supervisor. In many cases, the response is zero, that is, the initial position of the experimental object, already known or this information is not important to us. For example, work emergency braking systems do not depend on the place where it is used, but when calculating the launch parameters of the rocket are always known from which cosmodrome it will be launched. Therefore, polynomial models of the initial element are of interest. Such models are still few investigated. In the course of the work, C and D–optimal plans were compared. The work consists of four chapters. The first Chapter defines the following concepts: regression model; plan of experiment; criteria D and C-optimality; theorem of Elving, which it is used to study the criterion of C–optimality. In the second Chapter, the plans of extrapolation are investigated. It is shown that the solution of the problem significantly different for patterns of odd and even degrees. Found in an explicit form solution for quadratic and fourth degree models. Formulated and proved theorem for the General case. The third Chapter discusses the plans for the evaluation of the derivative. Received explicit solutions for models of order 2, 3. For the 4th degree model at some points the plan is constructed analytically, in the others the algorithm of finding the optimal one is given plan's. In the fourth Chapter, a comparison of optimal plans, extrapolating and D-optimal plans, and comparison of plans for estimating derivatives with D–optimal for model of the fourth order.