Analysis and optimization of explicit Runge-Kutta methods of increased order of accuracy

Abstract

Работа посвящена улучшению устойчивости явных методов Рунге – Кутты повышенного порядка точности. Рассматриваются методы, использующие производные решения задачи Коши. Проводится исследование устойчивости метода путем анализа области устойчивости. Максимизация ее площади и протяженности по отрицательной вещественной полуоси осуществляется за счет выбора свободных параметров метода. Параметры, при которых площадь или протяженность оказываются наибольшими, считаются оптимальными. При решении тестовых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных показано, что предложенные подходы к максимизации площади и протяженности области устойчивости действительно позволяют улучшать практическую устойчивость методов.

Thesis is devoted to the stabilization of the explicit Runge – Kutta methods of high order of accuracy. The methods are constructed by the Taylor expansion, with the usage of the solution high order derivatives. The stability of the method is investigated by the analysis of the stability domain. Maximization of the area of the stability domain and its length along the negative real axis is realized by the proper choice of the free parameters of the method. Parameter values, which are formed the solution of maximization problem, are considered as optimal. As a result of the solution of test problems for ordinary and partial differential equations, it is demonstrated that the proposed approach to stabilization improve the practical stability of methods.