Homogenization of multidimensional parabolic equations with periodic coefficients at the edge of a lacuna: operator estimations when the corrector is taken into account

Abstract

В пространстве $L_2(\mathbb{R}^d)$ изучается эллиптический дифференциальный оператор второго порядка вида $A_{\varepsilon} = \boldsymbol{\operatorname{D}}^* g(\boldsymbol{x}/\varepsilon) \boldsymbol{\operatorname{D}} + \varepsilon^{-2} p({\boldsymbol{x}}/\varepsilon),$ $\varepsilon >0$, с периодическими коэффициентами. Изучается поведение при малом $\varepsilon$ полугруппы $e^{- A_{\varepsilon} t}$, $t>0$, срезанной спектральным проектором оператора $A_{\varepsilon}$ на интервал вида $[\varepsilon^{-2} \lambda_{+},+\infty)$. Здесь $\varepsilon^{-2} \lambda_{+}$ --- правый край спектральной лакуны оператора $A_{\varepsilon}$. Получена аппроксимация ``срезанной'' полугруппы по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$, а также более точная аппроксимация при учете корректора с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ (после выделения множителя $e^{-t \lambda_{+} / \varepsilon^2}$). Результаты применяются к усреднению решения задачи Коши $\partial_t v_\varepsilon = - A_\varepsilon v_\varepsilon$, $v_\varepsilon\vert_{t=0} = f_\varepsilon$, с начальным данным $f_\varepsilon$ из специального класса.

In $L_2(\mathbb{R}^d)$, consider a second-order elliptic differential operator $A_{\varepsilon}$, $\varepsilon >0$, of the form $A_{\varepsilon} = \boldsymbol{\operatorname{D}}^* g(\boldsymbol{x}/\varepsilon) \boldsymbol{\operatorname{D}} + \varepsilon^{-2} p({\boldsymbol{x}}/\varepsilon)$, with periodic coefficients. For small $\varepsilon$, we study the behavior of the semigroup $e^{- A_{\varepsilon} t}$, $t>0$, cut by the spectral projection of the operator $A_{\varepsilon}$ for the interval $[\varepsilon^{-2} \lambda_{+},+\infty)$. Here $\varepsilon^{-2} \lambda_{+}$ is the right edge of a spectral gap for the operator $A_{\varepsilon}$. We obtain approximation for the ‘cut semigroup’ in the operator norm in $L_2(\mathbb{R}^d)$ with error$O(\varepsilon)$, and also a more accurate approximation with error $O(\varepsilon^2)$ (after singling out the factor $e^{-t \lambda_{+} / \varepsilon^2}$). The results are applied to homogenization of the Cauchy problem $\partial_t v_\varepsilon = - A_\varepsilon v_\varepsilon$, $v_\varepsilon\vert_{t=0} = f_\varepsilon$, with the initial data $f_\varepsilon$ from a special class.