Around local combinatorial formula for S1-bundles

Abstract

Относительно недавно была открыта локальная комбинаторная формула для класса Эйлера S^1-расслоений. Если база и тотальное пространство триангулированы (согласованно), то локальная комбинаторная формула — способ по комбинаторной структуре прообразов треугольников в базе определить класс Эйлера-Черна расслоения. В данной работе показано, что при естественном обобщении алгоритма локальной комбинаторной формулы для класса Эйлера-Черна, коцепь, представляющая этот класс, никак не меняется. С одной стороны, локальная комбинаторная формула не единственна. С другой стороны, все локальные комбинаторные формулы, управляемые довольно широким спектром функций, совпадают.

Recently a local combinatorial formula for the Euler class of S^1-fiber bundle was discovered. If the base space and the total space are triangulated, local combinatorial formula is a way to determine the Euler-Chern class of the fiber bundle by the combinatorial structure of the preimages of triangles in the base space. In this paper, it is shown that with a generalization of the algorithm for local combinatorial formula for the Euler class, the cochain representing this class does not change. On the one hand, the local combinatorial formula is not unique. On the other hand, all local combinatorial formulas controlled by a fairly wide range of functions coincide.