Stability analysis of linear systems with delay: piecewise linear approximation of Lyapunov functionals

Abstract

В работе предложен конструктивный метод анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, основанный на кусочно-линейном приближении функционалов Ляпунова - Красовского с заданной производной. Этот метод представляет собой модификацию методов, имеющихся в литературе, которая заключается в том, что кусочно-линейное приближение используется для подынтегральных выражений функционалов целиком. В результате строится оценка функционала снизу в виде квадратичной формы, и исследование устойчивости сводится к решению задачи минимизации квадратичной формы при квадратичных ограничениях. Матрица этой квадратичной формы представляет собой блочную матрицу, определяемую значениями матрицы Ляпунова в узлах разбиения отрезка, равного по длине запаздыванию, а также матрицами и запаздываниями системы. Разработанный метод реализован в программной среде MATLAB.

In this paper proposed a constructive method for analyzing the exponential stability of linear stationary systems with delay, based on the piecewise linear approximation of Lyapunov - Krasovsky functionals with a given derivative. This method is a modification of the methods available in the literature, which consists in the fact that the piecewise linear approximation is used for the whole integrands of the functionals. As a result, a lower estimate of the functional is constructed in the form of a quadratic form, and the stability analysis is reduced to solving the problem of minimizing a quadratic form under quadratic constraints. The matrix of this quadratic form is a block matrix determined by the values ​​of the Lyapunov matrix at the nodes of the partition of a segment equal in length to the delay, as well as by the matrices and delays of the system. The developed method is implemented in the MATLAB software environment.