Cubic normal forms, their classification and phase portraits

Abstract

Рассматриваются автономные двумерные однородные кубические системы, в которых многочлены в правой части имеют линейный общий множитель или являются взаимно простыми. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система -- нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ в выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для КФ приводятся: a) условия на коэффициенты исходной системы, b) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, c) получаемые значения ненормированных элементов КФ. Предложенная классификация в первую очередь создавалась для получения всех возможных структур обобщенных нормальных форм систем с КФ в невозмущенной части. В работе также приведена топологическая классификация систем с простейшими КФ в правой части с описанием метода ее получения.

We consider autonomous two-dimensional homogeneous cubic systems in which the polynomials in the right-hand part have a linear common factor or are mutually prime. A set of such systems is divided into classes of linear equivalence, wherein the simplest system being a third-order normal form is distinguished on the basis of properly introduced principles. Such a form is defined by the matrix of its right-hand part coefficients, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of non-zero elements, their specific normalization and canonical set of permissible values for the unnormalized elements, which relates the CF to the selected class of equivalence. In addition to classification, the CFs are provided with: a) conditions on the coefficients of the initial system, b) non-singular linear substitutions that reduce the right-hand part of the system under these conditions to the selected CF, c) obtained values of CF's unnormalized elements. The proposed classification was primarily created to obtain all possible structures of generalized normal forms for systems with CF in the unperturbed part. We also provide a topological classification of systems with the simplest CFs in the right-hand part with a description of the method for obtaining it.