Polytopes related to root systems, and their combinatorics

Abstract

В настоящей работе изучаются исключительные полуправильные многогранники $E_6$, $E_7$, $E_8$. Для первых двух из них полностью посчитаны цикловые индексы действия их группы Вейля на вершинах (т.е. на весах микровесовых представлений соответствующих групп со старшими весами $\varpi_1$ и $|varpi_7$, соответственно). Для третьего мы предлагаем некоторые технологические усовершенствования, сводящие аналогичное вычисление к непосредственному компьютерному перебору.

При помощи инструментов, используемых в этой работе, несложно будет подсчитать цикловые индексы и для других полуправильных и близких к ним исключительных многогранников. Кроме того, в настоящей работе строятся обогащённые диаграммы Дынкина со знаком типов $E_6$, $E_7$ и $E_8$ и отмечается, что они содержат все диаграммы Картера классов сопряженных элементов. В качестве иллюстрации наших методов мы вычисляем количество принципиально различных (т.е. не получающихся друг из друга при помощи вращений и симметрий) раскрасок граней корневого многогранника типа $E_6$ в 2 и 3 цвета.

In the present work we consider exceptional semiregular polytopes of symmetry types $E_6$, $E_7$, $E_8$. For the first two of them we calculate the cycle indices for the action of the corresponding Weyl group on their vertices (= the weights of the microweight representations with the highest weights $\varpi_1$ or $\varpi_7$, respectively). For the third one, our technology allows to reduce a similar calculation to a straightforward computer search.

One can apply similar tools also for other uniform polytopes. Also, in the present work we construct the signed enhanced Dynkin diagrams of types $E_6$, $E_7$ и $E_8$ and observe that they contain all Carter diagrams of conjugacy classes of the corresponding Weyl group. As an immediate application of our methods, we compute the number of essentially different colorings of the root polytope of type $E_6$ into 2 or 3 colors.