\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\DeclareFontFamily{OMX}{yhex}{}
\DeclareFontShape{OMX}{yhex}{m}{n}{<->yhcmex10}{}
\DeclareSymbolFont{yhlargesymbols}{OMX}{yhex}{m}{n}
\DeclareMathAccent{\wideparen}{\mathord}{yhlargesymbols}{"F3}
\usepackage[a4paper, margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsmath, amssymb, stackrel,  upgreek, amsthm}
\usepackage{tikz}
\usepackage{csvsimple, array}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{pred}{Предложение}
\newtheorem{sled}{Следствие}
\newtheorem{cons}{Конструкция}
\newtheorem{com}{Комментарий}
\begin{document}

\thispagestyle{empty}   

 \centerline{Санкт-Петербургский Государственный Университет}
 
 \vspace{4cm}
 
 \centerline{\bf Мигрин Виктор Валерьевич}
 
 \vspace{0.6cm}
 
 \centerline{\bf Выпускная квалификационная работа}
 
 \vspace{0.6cm}
 
 \centerline{\bf \Large <<Комбинаторика многогранников,  } 
 
 \centerline{\bf \Large связанных с системами корней>>}
 
 \vspace{1.5cm}
 
 \centerline{Уровень образования: бакалавриат}
 \centerline{Направление 01.03.01 <<Математика>>}
 \centerline{Основная образовательная программа СВ.5000.2017 <<Математика>>}
 \vspace{2.5cm}
 
 
 \hfill\parbox[t]{6.5cm}{Научный руководитель: \\
  д. ф.-м. н., профессор\\
  Николай Александрович Вавилов}
 
 \vspace{1.5cm}
 
  \hfill\parbox[t]{6.5cm}{Рецензент: \\
  д. ф.-м. н., профессор\\
  Николай Леонидович Гордеев}
 
 \vspace{5.5cm}
 
 \centerline{Санкт-Петербург}
 
 \centerline{2021 г.}
 
 \vspace{2cm}
 
 \newpage

\section{Вступление}
\par\smallskip Цель этой дипломной работы --- изучить структуру и геометрию двух исключительных многогранников типа $E_6$ и $E_7$, а также объяснить, как это делается для $E_8$. Эти многогранники были открыты аж в XIX веке и широко изучались вместе с правильными многогранниками многими замечательными математиками, в том числе Коксетер \cite{Cox1935, Cox1940, Cox1948, Cox1985, Cox1988, Cox1991, Cox}, Конвей и Слоан \cite{CS1, CS2}, Муди и Патера \cite{MP1, MP2}, МакМаллен \cite{MM1, MM2, MM3, MS} и Шаевска \cite{Sza1, Sza2}, последняя работа которой в какой-то мере и вдохновила меня на более детальное изучение этого вопроса.
\par\smallskip Правильные и полуправильные многогранники обладают одним замечательным свойством --- \textit{все} они, начиная с некоторой небольшой размерности, остаются только нескольких простых типов. Поэтому исключительные случаи $E_6$, $E_7$ и $E_8$ оказываются самыми сложными из полуправильных многогранников, хотя находятся всего в 6, 7 и 8-мерном пространствах. Может показаться, что за столько лет про три конкретных фигуры должно быть уже известно всё, что только можно, однако в этой работе разрабатывается новый, более простой подход к их комбинаторным и геометрическим свойствам. В частности, предлагается новый способ посчитать \textit{число принципиально различных способов раскраски их вершин и граней в несколько цветов}. 
\par\smallskip Основные инструменты --- это \textbf{весовые диаграммы}, \textbf{корневые подсистемы} и \textbf{классы сопряжённости групп Вейля} --- элементарны и стандартны в теории представлений алгебраических групп. Знание последних безусловно играет основную роль в наших вычислениях. При этом, в процессе изучения исключительных многогранников, нам удалось заметить, что все 26 диаграмм Картера, являющихся самыми сложными для представления, можно буквально за пару секунд обнаружить на \textit{одной} \textbf{обогащённой диаграмме Дынкина} для $E_8$, рисунок 4 которой содержит \textit{всего} 16 вершин и 32 ребра!
\par\smallskip Как иллюстрация методов, которые считаются новыми, в $\S~8$ и Приложениях $A$ и $B$ доказываются следующие две теоремы:
\begin{theorem} Цикловой индекс действия группы Вейля $W(E_6)$ на вершинах $(E_6, \varpi_1)$ равен: \begin{multline*}
Z_{27}[x_1,\ldots, x_{12}]={1\over 51840}\Big(
x^{27}_1+ 36 x^{15}_1x^6_2 + 270 x^7_1x_2^{10}+ 240x_1^9x_3^6
+ 585x_1^3x_2^{12}+\\ 1440 x_1^3 x_2^3 x_3^4x_6 + 1620 x_1^5x_2x_4^5 + 2160 x_1^3x_2^3x_3^4x_6 
+560 x_3^9+3780x_1x_2^3x_4^5+\\
5184 x_1^2x_5^5+1440 x_1^3x_2^3x_6^3+540x_1^3x_4^6+1440 x_3^5x_6^2+
5184x_2x_5^3x_{10}+\\ 6480 x_3x_6^4+
6480 x_1x_2x_8^3+4320 x_1x_4^2x_6x_{12}+4320x_3x_{12}^2+5760x_9^3\Big)
\end{multline*}
\noindent
\end{theorem}
\newpage
\begin{theorem}
Цикловой индекс действия группы Вейля $W(E_7)$ на вершинах $(E_7, \varpi_7)$ равен: \begin{multline*}
Z_{56}[x_1,\ldots, x_{30}]={1\over 2903040}\Big(x_1^{56} + 3^2 \cdot 7x_1^{32}x_2^{12} + 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^{16}x_2^{20} + 2^5 \cdot 3 \cdot 7x_1^{20}x_3^{12} + (2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + \\
3^2 \cdot 5 \cdot 7)x_1^8x_2^{24} + (3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 3^2 \cdot 7 + 1)x_2^{28} + 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7x_1^8x_2^6x_3^8x_6^2 + 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^{12}x_2^2x_4^{10} + \\
2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^4x_2^8x_3^4x_6^4 + (2^7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^6 \cdot 5 \cdot 7)x_1^2x_3^{18} + (2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7 + 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7)x_1^4x_2^6x_4^{10} + \\
(2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7 + 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7)x_2^8x_4^{10} + 2^8 \cdot 3^3 \cdot 7x_1^6x_5^{10} + 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7x_1^8x_2^6x_6^6 + 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^8x_4^{12} +\\
(2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^5 \cdot 3 \cdot 7)x_2^{10}x_6^6 + 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7x_1^2x_3^{10}x_6^4 + 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_2^2x_3^4x_4^4x_{12}^2 + \\
2^8 \cdot 3^4 \cdot 7x_1^2x_2^2x_5^6x_{10}^2 + (2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7)x_1^2x_3^2x_6^8 + \\
(2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 + 2^7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^6 \cdot 5 \cdot 7 + 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7)x_2x_6^9 +\\ 
(2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7 + 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7 + 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7)x_2^4x_4^{12} + 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7x_1^4x_2^2x_8^6 + 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^4x_4^4x_6^2x_{12}^2 + \\
(2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 + 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7)x_2^2x_4^4x_6^2x_{12}^2 + 2^9 \cdot 3^3 \cdot 7x_3^2x_5^4x_{15}^2 + 2^9 \cdot 3^4 \cdot 5x_7^8 + 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7x_2^4x_8^6 + \\
(2^8 \cdot 3^4 \cdot 7 + 2^8 \cdot 3^3 \cdot 7)x_2^3x_{10}^5 + (2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7 + 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7)x_4^2x_8^6 + 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_1^2x_3^2x_{12}^4 + 2^9 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7x_1^2x_9^6 + \\
2^9 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7x_2x_{18}^3 + 2^9 \cdot 3^4 \cdot 5x_{14}^4 + 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7x_2x_6x_{12}^4 + 2^9 \cdot 3^3 \cdot 7x_6x_{10}^2x_{30}\Big)
\end{multline*}
\noindent
\end{theorem}
\par \smallskip Естественно, при помощи используемых инструментов аналогичные цикловые индексы можно вычислить вручную и для более легких случаев. Однако следующий логичный случай $E_8$ требует использование компьютеров, даже после всех возможных упрощений. Многие параграфы этой работы взяты из \cite{MV}, писавшейся параллельно, и как раз для которой доказывалась Теорема 1.

\section{Полуправильные многогранники}
\par\smallskip В этом параграфе мы очень кратко опишем наши три исключительных многогранника $E_6$, $E_7$, $E_8$, а также их место в общем мире.
\par\smallskip $\bullet$ Многогранник называется \textbf{правильным}, если его группа симметрии транзитивно действует на \textit{флагах} (вершина + ребро из неё, ребро + 2-грань из него, и т. д.).
\par\smallskip $\bullet$ Многогранник называется \textbf{однородным}, если его группа симмметрии \textit{вершинно транзитивна} и его гиперграни сами по себе \textit{однородны}.
\par\smallskip $\bullet$ \textit{Однородный} многогранник называется \textbf{полуправильным} (по Госсету), если его гиперграни --- \textit{правильные} многоугольники. 
\par\smallskip Последнее определение --- не единственное. Эльте определил полуправильность \textit{индуктивно}, по его определению сами гиперграни тоже должны были бы быть \textit{полуправильными}.
\par\smallskip Классификацию полуправильных многогранников размерности $n = 3$ получил Кеплер ещё в 1596-1620 годах, а в 1900 году Госсет опубликовал список из 7 полуправильных многогранников, 3 в размерности $n = 4$, и по одному в размерностях $n = 5, 6, 7, 8$, четыре замечательных полуправильных многогранника типов симметрии $D_5$, $E_6$, $E_7$ и $E_8$ --- \textbf{многогранник Клебша} $1_{21}$, \textbf{многогранник Шлефли} $2_{21}$, \textbf{многогранник Хессе} $3_{21}$ и \textbf{многогранник Госсета} $4_{21}$ соответственно. В 1912 году Эльте ослабил понятие полуправильности и построил исключительные многогранники типов симметрии $E_6$, $E_7$ и $E_8$ --- \textbf{многогранники Эльте} $1_{22}$, $2_{31}$, $1_{32}$, $2_{41}$. 
\par\smallskip Что касается полной классификации во всех измерениях --- принято считать, что она была завершена Коксетером в 1948 году. Но это не совсем так. Фактически, мы не думаем, что даже полнота списка Госсета была проверена до 1990-х годов. Даже для $n=4$ первое принятое доказательство было опубликовано только в 1988 году Петром Макаровым \cite{Mak1, Mak2}. Полнота списка для размерностей $d \ge 5$ была установлена только Блиндами \cite{BB} в 1991 году как результат их классификации многогранников с правильными гранями. И это всё --- только про \textit{выпуклые} многогранники!
\par\smallskip То же самое можно сказать и про комбинаторную структуру. Госсет описал лишь их \textit{гиперграни} и сформулировал \textit{некоторые} свойства инцидентности следующего типа: $(d-3)$-грань $d$-мерного многогранника содержится в двух $(d-1)$-гипероктаэдрах и одном $(d-1)$-симплексе и др.

\section{Корневые системы}
\par\smallskip Во всём, что касается \textit{корневых систем}, включая нумерацию простых корней, я буду следовать Бурбаки \cite{Bourbaki}, также \cite{Humphreys}. В частности, $\Phi$ --- приведённая фундаментальная система корней ранга $l$, $W = W(\Phi)$ --- группа Вейля, порождённая отражениями относительно корней из $\Phi$. Для каждого $\alpha \in \Phi$ через $w_{\alpha} \in W$ обозначим соответствующее \textit{корневое отражение}.
\par\smallskip Группы Вейля интересующих нас исключительных многогранников имеют следующие порядки: 
$$\begin{cases}
|W(E_6)| = 51840 = 72 \cdot 6! = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5,\\
|W(E_7)| = 2903040 = 72 \cdot 8! = 2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7,\\
|W(E_8)| = 696729600 = 192 \cdot 10! = 2^{14} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7.
\end{cases}$$
\par\smallskip Зафиксируем порядок на $\Phi$, пусть $\Pi = \{ \alpha_1, ..., \alpha_l\}$ --- множество простых корней, $\Phi^+$ и $\Phi^-$ --- соответствующие положительные и отрицательные корни. При фиксированном порядке можно вместо $w_{a_i}$ писать $w_i$, т.е. $W = W(\Phi) = \langle w_1,\ldots,w_l\rangle$.
\par\smallskip За $\bar\Pi$ обозначим расширенную фундаментальную систему $\Phi$. Она получается из $\Pi$ добавлением $\alpha_0 = -\delta$, где $\delta$ --- максимальный корень $\Phi$ относительно $\Phi$. В форме Дынкина максимальные корни $E_6$, $E_7$ и $E_8$ выражаются так:
\def\dynkin#1#2#3#4#5#6#7#8{\vcenter{\vbox{\vfill\hbox{$#1#3#4#5#6#7#8$}
        \nointerlineskip\vskip 3pt
        \hbox{$\phantom{#1}\phantom{#3}#2$\hfil}\vfill}}}
$$  \dynkin122321{}{},\qquad \dynkin2234321{},\qquad\dynkin23465432. $$
Расширенные диаграммы Дынкина, полученные добавлением корня $\alpha_0$, изображены на рисунке 1.
\begin{figure}[h]
\centerline{\begin{tikzpicture}
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (4,0);
\draw[line width=1pt] (2,0) -- (2,-2);
\draw[fill=white] (0,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_1$};
\draw[fill=white] (1,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_3$};
\draw[fill=white] (2,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_4$};
\draw[fill=white] (3,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_5$};
\draw[fill=white] (4,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_6$};
\draw[fill=white] (2,-1) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_2$};
\draw[fill=white] (2,-2) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_0(E_6)$};
\end{tikzpicture}}
\centerline{\begin{tikzpicture}
\draw[line width=1pt] (-1,0) -- (5,0);
\draw[line width=1pt] (2,0) -- (2,-1);
\draw[fill=white] (0,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_1$};
\draw[fill=white] (1,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_3$};
\draw[fill=white] (2,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_4$};
\draw[fill=white] (3,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_5$};
\draw[fill=white] (4,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_6$};
\draw[fill=white] (5,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_7$};
\draw[fill=white] (2,-1) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_2$};
\draw[fill=white] (-1,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_0(E_7)$};
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=1pt] (-1,0) -- (6,0);
\draw[line width=1pt] (2,0) -- (2,-1);
\draw[fill=white] (0,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_1$};
\draw[fill=white] (1,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_3$};
\draw[fill=white] (2,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_4$};
\draw[fill=white] (3,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_5$};
\draw[fill=white] (4,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_6$};
\draw[fill=white] (5,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_7$};
\draw[fill=white] (6,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_8$};
\draw[fill=white] (2,-1) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_2$};
\draw[fill=white] (-1,0) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_0(E_8)$};
\end{tikzpicture}}
\caption{Расширенные диаграммы Дынкина для $E_6$, $E_7$ и $E_8$.}
\end{figure} 
\par\smallskip Для двух систем корней $\Delta$ и $\Sigma$ обозначим за $\Delta + \Sigma$ их ортогональную сумму. В частности, $k\Delta = \Delta + ... + \Delta$ --- ортогональная сумма $k$ изоморфных слагаемых. Также $A_0 = D_0 = D_1 = \emptyset$.
\par\smallskip В интересующих нас диаграммах отсутствуют мультирёбра, в таком случае корни обычно нормируются так, что $(\alpha, \alpha) = 2$.

\section{Гиперболическая реализация $E_l$}
\par\smallskip Для понимания скалярных произведений корней удобно представлять их не в виде линейной комбинации простых, а в гиперболическом виде. Такой переход очень популярен и описывается, например, в \cite{HV, Manin}. 			
\par\smallskip Рассмотрим вещественное векторное пространство $U = R^{l,1}$ размерности $l + 1$, наделённое невырожденным симметричным скалярным произведением $(\ \,,\ )\,$: $U \times U \rightarrow R$ сигнатуры $(l, 1)$. Зафиксируем ортонормированный базис $e_0$, $e_1$, ..., $e_l$ такой, что $(e_0 , e_0) = -1$ и $(e_i , e_i) = 1$ для всех $1 \le i \le l$. Рассмотрим случай $l = 8$, остальные случаи получатся из него некоторым упрощением. В этой реализации каждый элемент $\Upphi = E_8$, с точностью до знака, имеет одну из следующих форм:
$$\begin{cases}
\text{$\beta_{ij} = e_i - e_j$, где $i > j$,}\\
\gamma_{ijh} = e_0 + e_i + e_j + e_h,\\
\eta_{ij} = 2e_0 + e_1 + ... + \hat e_i + ... + \hat e_j + ... + e_8,\\
\zeta_i = 3e_0 + e_1 + ... + 2e_i + ... + e_8,
\end{cases}$$
\\где индексы $i$, $j$, $h = 1$, ..., $8$ попарно различны, а шляпка над индексом означает, что этот индекс следует пропустить.
\par\smallskip Зафиксируем следующую фундаментальную систему $\Uppi = \{\alpha_1, ...,\alpha_8\}$ в $\Upphi = E_8$: $\alpha_1 = e_2 - e_1$, $\quad \alpha_2 = e_0 + e_1 + e_2 + e_3$, $\quad \alpha_3 = e_3 - e_2$, $\quad \alpha_4 = e_4 - e_3$, $\quad \alpha_5 = e_5 - e_4$, $\quad \alpha_6 = e_6 - e_5$, $\quad \alpha_7 = e_7 - e_6$, $\quad \alpha_8 = e_8 - e_7$.
\par\smallskip Корневая система $\Upphi = E_7$ и ее фундаментальная корневая система получается из приведённой выше отбрасыванием $e_8$ и $\alpha_8$ (тем самым исчезает последний тип корней). Корневая система $\Upphi = E_6$ получается отбрасыванием и $e_8$ с $\alpha_8$, и $e_7$ с $\alpha_7$ (тем самым третий тип корней сводится к единственному корню $2e_0 + e_1 + ... + e_6$).

\begin{table}[h]
\centerline{\begin{tabular}{|| c | c | c ||}
\hline
$\dim{\Delta}$ & $\Delta \subseteq E_6$ & $\Delta \subseteq E_7$ \\ \hline 
0 & $\emptyset$ &  $\emptyset$ \\ \hline
1 & $A_1$ &  $A_1$  \\ \hline
2 & $2A_1$ \quad $A_2$ &  $2A_1$ \quad $A_2$  \\ \hline
3 & $3A_1$\quad $A_2 + A_1$\quad $A_3$ & $(3A_1)'$ \quad $(3A_1)''$\quad $A_2 + A_1$ \quad $A_3$ \\ \hline
4 & $4A_1$\quad $A_2 + 2A_1$\quad $2A_2$\quad $A_3 + A_1$ & $(4A_1)'$ \quad $(4A_1)''$ \quad $A_2 + 2A_1$\quad $2A_2$\quad $(A_3 + A_1)'$ \\ 
 & $A_4$\quad $D_4$\quad $\bf{D_4(a_1)}$ & $(A_3 + A_1)''$ \quad $A_4$\quad $D_4$\quad $\bf{D_4(a_1)}$ \\ \hline
5 & $2A_2 + A_1$\quad $A_3 + 2A_1$\quad $A_4 + A_1$ & $5A_1$ \quad $A_2 + 3A_1$ \quad $2A_2 + A_1$ \quad $(A_3 + 2A_1)'$ \\ 
& $A_5$\quad $D_5$\quad $\bf{D_5(a_1)}$ &  $(A_3 + 2A_1)''$ \quad $A_3 + A_2$ \quad $A_4 + A_1$ \quad $(A_5)'$ \quad $(A_5)''$  \\ 
& & $D_4 + A_1$ \quad $\bf{D_4(a_1) + A_1}$\quad $D_5$ \quad $\bf{D_5(a_1)}$ \\ \hline
6 & $3A_2$\quad $(A_5 + A_1)''$\quad $E_6$ & $6A_1$\quad $3A_2$ \quad $A_3 + 3A_1$ \quad $A_3 + A_2 + A_1$ \quad $2A_3$  \\ 
& $\bf{E_6(a_1)}$\quad $\bf{E_6(a_2)}$ & $A_4 + A_2$ \quad $(A_5 + A_1)'$ \quad $(A_5 + A_1)''$ \quad $A_6$ \quad $D_4 + 2A_1$ \\ 
&  &  $D_5 + A_1$ \quad $\bf{D_5(a_1) + A_1}$ \quad $D_6$ \quad $\bf{D_6(a_1)}$ \quad $\bf{D_6(a_2)}$ \\ 
& & $E_6$ \quad $\bf{E_6(a_1)}$ \quad $\bf{E_6(a_2)}$ \\ \hline
7 & & $7A_1$\quad $3A_2 + A_1$\quad $A_5 + A_2$\quad $A_7$  \\ 
& & $D_4 + 3A_1$\quad $D_6 + A_1$ \quad $\bf{D_6(a_2) + A_1}$\quad $E_7$ \\ 
& & $\bf{E_7(a_1)}$\quad $\bf{E_7(a_2)}$\quad $\bf{E_7(a_3)}$\quad $\bf{E_7(a_4)}$ \\ \hline
\end{tabular}}
\caption{Все подсистемы и графы Картера для $E_6$ и $E_7$.} 
\end{table}
\begin{table}[h]
\centerline{\begin{tabular}{|| c | c ||} \hline
$\dim{\Delta}$ & $\Delta \subseteq E_8$ \\ \hline
0 & $\emptyset$ \\ \hline
1 & $A_1$ \\ \hline
2 & $2A_1$ \quad $A_2$ \\ \hline
3 & $3A_1$ \quad $A_2 + A_1$ \quad $A_3$ \\ \hline
4 & $(4A_1)'$ \quad $(4A_1)''$ \quad $A_2 + 2A_1$ \quad $2A_2$ \quad $A_3 + A_1$ \quad $A_4$ \quad $D_4$ \quad $\bf{D_4(a_1)}$ \\ \hline
5 & $5A_1$ \quad $A_2 + 3A_1$ \quad $2A_2 + A_1$ \quad $(A_3 + 2A_1)'$ \quad $(A_3 + 2A_1)''$ \quad $A_3 + A_2$ \quad $A_4 + A_1$ \quad $A_5$ \\
& $D_4 + A_1$ \quad $\bf{D_4(a_1) + A_1}$ \quad $D_5$ \quad $\bf{D_5(a_1)}$ \\ \hline
6 & $6A_1$ \quad $A_2 + 4A_1$ \quad $2A_2 + 2A_1$ \quad $3A_2$ \quad $A_3 + 3A_1$ \quad $A_3 + A_2 + A_1$ \quad $(2A_3)'$ \quad $(2A_3)''$ \\
& $A_4 + 2A_1$ \quad $A_4 + A_2$ \quad $(A_5 + A_1)'$ \quad $(A_5 + A_1)''$ \quad $A_6$ \quad $D_4 + 2A_1$ \quad $D_4 + A_2$ \\  
& $\bf{D_4(a_1) + A_2}$ \quad $D_5 + A_1$ \quad $\bf{D_5(a_1) + A_1}$ \quad $D_6$ \quad $\bf{D_6(a_1)}$ \quad $\bf{D_6(a_2)}$ \quad $E_6$ \quad $\bf{E_6(a_1)}$ \quad $\bf{E_6(a_2)}$ \\ \hline
7 & $7A_1$ \quad $3A_2 + A_1$ \quad $A_3 + 4A_1$ \quad $A_3 + A_2 + 2A_1$ \quad $2A_3 + A_1$ \quad $A_4 + A_2 + A_1$ \quad $A_4 + A_3$ \\
 & $A_5 + 2A_1$ \quad $A_5 + A_2$ \quad $A_6 + A_1$ \quad $(A_7)'$ \quad $(A_7)''$ \quad $D_4 + 3A_1$ \quad $D_4 + A_3$ \quad $\bf{D_4(a_1) + A_3}$ \\
& $D_5 + 2A_1$ \quad $D_5 + A_2$ \quad $\bf{D_5(a_1) + A_2}$ \quad $D_6 + A_1$ \quad $\bf{D_6(a_2) + A_1}$ \quad $E_6 + A_1$ \quad $\bf{E_6(a_1) + A_1}$ \\
& $\bf{E_6(a_2) + A_1}$ \quad $D_7$ \quad $\bf{D_7(a_1)}$ \quad $\bf{D_7(a_2)}$ \quad $E_7$ \quad $\bf{E_7(a_1)}$ \quad $\bf{E_7(a_2)}$ \quad $\bf{E_7(a_3})$ \quad $\bf{E_7(a_4)}$ \\ \hline
8 & $8A_1$ \quad $4A_2$ \quad $2A_3 + 2A_1$ \quad $2A_4$ \quad $A_5 + A_2 + A_1$ \quad $A_7 + A_1$ \quad $A_8$ \quad $D_4 + 4A_1$ \quad $2D_4$ \\
& $\bf{2D_4(a_1)}$ \quad $\bf{D_5(a_1) + A_3}$ \quad $D_6 + 2A_1$ \quad $D_8$ \quad $\bf{D_8(a_1)}$ \quad $\bf{D_8(a_2)}$ \quad $\bf{D_8(a_3)}$ \quad $E_6 + A_2$ \\
& $\bf{E_6(a_2) + A_2}$ \quad $E_7 + A_1$ \quad $\bf{E_7(a_2) + A_1}$ \quad $\bf{E_7(a_4) + A_1}$ \quad $E_8$ \quad $\bf{E_8(a_1)}$ \quad $\bf{E_8(a_2)}$ \\
& $\bf{E_8(a_3)}$ \quad $\bf{E_8(a_4)}$ \quad $\bf{E_8(a_5)}$ \quad $\bf{E_8(a_6)}$ \quad $\bf{E_8(a_7)}$ \quad $\bf{E_8(a_8)}$ \\ \hline
\end{tabular}}
\caption{Все подсистемы и графы Картера для $E_8$.}
\end{table}

\begin{table}
\centerline{\begin{tabular}{ c  c | c  c }

$D_4(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (1.33,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_7(b_2)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (2.67,0) -- (2.67,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$D_5(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (2.67,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_7(a_3)$ &
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (2.67,1.33) -- (4,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$D_6(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_7(a_4)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (45:1cm) -- ++(1.33,0) -- ++(-135:1cm) -- ++(-45:1cm) -- ++(45:1cm);
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (-45:1cm) -- ++(1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (0,0) -- (1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0)++(45:1cm) -- ++(-45:1cm);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm)++(1.33,0)++(-45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-45:1cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\


$D_6(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (2.67,1.33);
\draw[line width=0.67pt] (-1.33,0) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (5.33,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (5.33,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\


$D_7(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (5.33,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (5.33,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0) -- (-1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\


$D_7(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33);
\draw[line width=0.67pt] (-1.33,0) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(a_3)$ &
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (2.67,1.33) -- (-1.33,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0) -- (-1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$D_8(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (6.67,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (5.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (6.67,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(b_3)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (-1.33,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (2.67,0) -- (2.67,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\


$D_8(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (5.33,1.33);
\draw[line width=0.67pt] (-1.33,0) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (5.33,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(a_4)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (2.67,1.33) -- (5.33,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (5.33,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$D_8(a_3)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (1.33,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33);
\draw[line width=0.67pt] (-2.67,0) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-2.67,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
 & $E_8(a_5)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (2.67,1.33) -- (4,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0) -- (-1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$E_6(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (2.67,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
& $E_8(b_5)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (4,0) -- (4,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (2.67,0) -- (2.67,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$E_6(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (2.67,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
 & $E_8(a_6)$ &
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (4,0) -- (4,1.33) -- (0, 1.33) -- (1.33, 1.33) -- (1.33, 0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (0,0) -- (0,1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (2.67,0) -- (2.67,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$E_7(a_1)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (4,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (4,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
 & $E_8(a_7)$ &
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (45:1cm) -- ++(1.33,0) -- ++(-135:1cm) -- ++(-45:1cm) -- ++(45:1cm) -- ++(1.33,0);
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (-45:1cm) -- ++(1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (0,0) -- (1.33,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0)++(45:1cm) -- ++(-45:1cm);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm)++(1.33,0)++(-45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-45:1cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-45:1cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (45:1cm)++(1.33,0)++(-45:1cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

$E_7(a_2)$ & 
\begin{tikzpicture} 
\draw[line width=0.67pt] (0,0) -- (2.67,0) -- (0,0) -- (0,1.33) -- (2.67,1.33) -- (-1.33,1.33) -- (0,1.33) -- (0,0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (2.67,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (-1.33,1.33) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}
 & $E_8(a_8)$ & 
\begin{tikzpicture}
\draw[line width=0.67pt] (0,0)++(50:0.7cm) -- ++(1.33,0) -- ++(-130:0.7cm) -- (0,0) -- (0, 1.33) -- ++(50:0.7cm) -- ++(0, -1.33);
\draw[line width=0.67pt] (0,1.33) -- ++(1.33,0) -- ++(50:0.7cm) -- ++(0,-1.33);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (0,0) -- (50:0.7cm);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (0,1.33)++(50:0.7cm) -- ++(1.33, 0);
\draw[line width=0.67pt, dotted] (1.33,0) -- (1.33,1.33);
\draw[fill=white] (0,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (50:0.7cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (50:0.7cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (1.33,1.33) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33)++(50:0.7cm) circle (1.33pt);
\draw[fill=white] (0,1.33)++(50:0.7cm)++(1.33,0) circle (1.33pt);
\end{tikzpicture}\\

\end{tabular} }
\caption{Диаграммы Картера.}
\end{table}

\section{Классы сопряжённости группы Вейля}
\par\smallskip Большинство моих реальных вычислений напрямую зависит от явного знания \textbf{классов сопряжённости групп Вейля}. Картер \cite{Carter1, Carter2} описывает ситуацию примерно следующим образом:
\par\smallskip$\bullet$ \textit{Большинство} классов сопряженности группы Вейля $W(\Phi)$ получаются из \textbf{подсистем} и представлены классом $C(\Delta)$ элементов Коксетера $cox_{\Delta} = w_{\beta_1}...w_{\beta_r}$, где $\beta_i$ --- фундаментальные корни подсистемы $\Delta \subseteq \Phi$.
\par\smallskip$\bullet$ Есть ровно \textbf{два} случая, когда для двух несопряжённых подсистем $\Delta$, $\Sigma \subseteq \Phi$ их классы Коксетера $C(\Delta)$ и $C(\Phi)$ совпадают в $W(\Phi)$, но оба они в этой работе нам не интересны.
\par\smallskip$\bullet$ Остальные классы сопряжённости приходят из \textbf{графов Картера}, которые представляют собой двудольные диаграммы Дынкина с циклами. Вершины диаграммы $C$ разбиваются на два множества $C = C_1 \sqcup C_2$ из попарно ортогональных корней, и оставшиеся классы сопряжённости представляются произведением двух инволюций $w = w_1w_2$, где $w_i$ --- это произведение всех корневых отражений $w_{\alpha}$, $\alpha \in C_i$.
\par\smallskip Классификация всех подсистем корневых систем давно произведена в том числе в \cite{Carter2}, таблица из которой представлена в виде таблиц 1 и 2 (жирным выделены ``особые'' ситуации --- графы Картера), однако схожие таблицы получены и в \cite{HV}, см. также \cite{Dynkin}.
\par\smallskip Две подсистемы $\Delta$ и $\Sigma$ одного типа \textit{почти всегда} сопряжены, за исключением одного особого случая, который в таблицах 1 и 2 помечен как $(\Delta)'$ и $(\Delta)''$. Они обе подсистемы типа $\Delta$, только $(\Delta)'$ из таблицы 1 содержится в $A_7$, а $(\Delta)''$ --- нет, а $(\Delta)'$ из таблицы 2 содержится в $A_8$, а $(\Delta)''$ --- нет. В \cite{Carter2} показано, что эти подсистемы в действительности не сопряжены. Стоит ещё обратить внимание на то, что в \cite{Carter2} $(\Delta)'$ и $(\Delta)''$ несут ровно противоположный смысл, чем в моей работе, а также ортогональные части у Картера перемножаются, а не складываются. Говорят, так сложилось \textit{исторически}.
\par\smallskip Графы Картера $\Delta(a_i)$ \textit{не являются} диаграммами Дынкина подсистем, их диаграммы приведены в таблице 3. Вообще говоря, циклы в этих диаграммах бывают длины не только 4, однако Рафаэль Стекольщик в \cite{Stek} доказал, что диаграммы Картера с циклом большей длины эквивалентны диаграммам, содержащим только циклы длины 4. Из его работы, например, следует, что 
$$E_7(a_2) \simeq E_7(b_2), \quad E_8(a_3) \simeq E_8(b_3),  \quad E_8(a_5) \simeq E_8(b_5).$$ 
Поэтому, например, в таблицах 1 и 2 не присутствует ни одного $E_i(b_j)$, так как они все эквивалентны $E_i(a_j)$. Подробнее про графы Картера я расскажу в следующем параграфе.
\par\smallskip В той же таблице 1 видно, что с точностью до сопряженности $E_6$ содержит 20 подсистем + пустое множество + 4 диаграммы Картера , а $E_7$ --- 46 подсистем + пустое множество + 13 диаграмм Картера, что уже является достаточно большим числом для перебора без компьютера. Из таблицы 2 видно, что для $E_8$ будет 76 подсистем + пустое множество + 35 диаграмм Картера, их суммарное количество будет 112, что почти в 3 раза (\textit{а по моим скромным ощущениям --- во все $4$}) усложняет подсчёт циклового индекса ручным перебором в этом случае.  


\section{Обогащённые диаграммы Дынкина}
\par В этом параграфе мы построим \textbf{обогащённые диаграммы Дынкина} из работы Евгения Дынкина и Андрея Минченко \cite{DM} для $E_6$, $E_7$ и $E_8$, указывая не только на смежность вершин, но и на знак скалярного произведения, как это делал Рафаэль Стекольщик \cite{Stek}. Две вершины со скалярными произведением $-1$ будут соединены сплошной линией, тогда как две вершины со скалярным произведением $+1$ будут соединены пунктирной линией. Подробное содержание этого параграфа будет изложено в статье \cite{MVD}, которая на момент написания этой дипломной работы ещё не опубликована.
\begin{theorem}
Обогащённые диаграммы Дынкина для $E_6$, $E_7$ и $E_8$ изображены на рисунках $2$, $3$ и $4$ соответственно.
\end{theorem}
\textbf{Доказательство.} Строятся они пошагово и последовательно, сначала для $E_6$, затем для $E_7$, а в конце для $E_8$. Как видно из рисунков, каждая следующая обогащённая диаграмма целиком содержит предыдущую.
\smallskip

\begin{figure}[h]
\centerline{\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (40:4.5cm) -- ++(90:4.5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0) -- (-40:4.5cm) -- ++(90:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (180:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(40:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(-40:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(180:4.5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0) -- (90:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (-4.5,0) -- ++(90:4.5cm);
\draw[fill=black] circle (3pt) node [below left] {$e_0 + e_1 + e_4 + e_5$};
\draw[fill=black] (-4.5, 0) circle (3pt) node [below left] {$e_2 - e_1 = \alpha_2$};
\draw[fill=black] (-4.5, 4.5) circle (3pt) node [above left] {$e_3 - e_2 = \alpha_3$};
\draw[fill=black] (0, 4.5) circle (3pt) node [above left] {$e_4 - e_3 = \alpha_4$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_6 = e_6 - e_5$};
\draw[fill=black] (-40:4.5cm) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_0 = 2e_0 + e_1 + ... + e_6$};
\draw[fill=black] (-40:4.5cm)++(0, 4.5) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_2 = e_0 + e_1 + e_2 + e_3$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm)++(0, 4.5) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_5 = e_5 - e_4$};
\end{tikzpicture}}
\caption{Обогащённая диаграмма Дынкина для $E_6$.}
\end{figure}
\pagebreak
\textbf{Построение для $E_6$:}
\begin{enumerate}
\item В диаграмме Дынкина для $E_6$ находится вершина степени 3 --- в самом начале это простой корень $\alpha_4$, который соединён с тремя простыми корнями $\alpha_2$, $\alpha_3$ и $\alpha_5$. Рассмотрим эти четыре корня как $D_4$.
\item В этом $D_4$ считается максимальный корень, наносится на диаграмму и, в зависимости от скалярного произведения, соединяется с уже имеющимися вершинами. В форме Дынкина этот максимальный корень выражается так: $\dynkin011210{}{}$.
\item Шаги 1 и 2 повторяются, пока на диаграмме присутствует хотя бы одна вершина степени 3. Однако надо иметь в виду, что если у нас внутри $D_4$ на шаге 2 есть пунктирные рёбра, то при подсчёте максимального корня их висячие концы следует взять со знаком минус. 
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
\centerline{\begin{tikzpicture}
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (40:4.5cm) -- ++(90:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (40:4.5cm) -- ++(-40:4.5cm) -- ++(-140:4.5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0)++(-40:4.5cm) -- ++(90:4.5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0)++(40:4.5cm) -- ++(180:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (180:4.5cm) -- ++(40: 4.5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0) -- (-40:4.5cm) -- ++(180:4.5cm) -- ++(140:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(40:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(-40:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (0,4.5) -- ++(180:4.5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0) -- (90:4.5cm);
\draw[line width=2pt] (-4.5,0) -- ++(90:4.5cm);
\draw[fill=black] circle (3pt) node [below left] {$e_0 + e_1 + e_4 + e_5$};
\draw[fill=black] (-4.5, 0) circle (3pt) node [below left] {$e_2 - e_1 = \alpha_1$};
\draw[fill=black] (-4.5, 4.5) circle (3pt) node [above left] {$e_3 - e_2 = \alpha_3$};
\draw[fill=black] (0, 4.5) circle (3pt) node [above left] {$e_4 - e_3 = \alpha_4$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_6 = e_6 - e_5$};
\draw[fill=black] (-40:4.5cm) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_0(E_6) = 2e_0 + e_1 + ... + e_6$};
\draw[fill=black] (-40:4.5cm)++(0, 4.5) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_2$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm)++(0, 4.5) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_5 = e_5 - e_4$};
\draw[fill=black] (-40:4.5cm)++(-4.5, 0) circle (3pt) node [below left] {$2e_0 + e_2 + ...  + e_7 = \alpha_0(E_7)$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm)++(-4.5, 0) circle (3pt) node [above left] {$e_0 + e_1 + e_6 + e_7$};
\draw[fill=black] (40:4.5cm)++(-40:4.5cm) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_7 = e_7 - e_6$};
\end{tikzpicture}}
\caption{Обогащённая диаграмма Дынкина для $E_7$.}
\end{figure}

\textbf{Построение для $E_7$:}
\begin{enumerate}
\item На обогащённую диаграмму Дынкина для $E_6$ добавляется корень $\alpha_7$ вместе с рёбрами, зависящими от скалярного произведения.
\item Для всех вершин степени 3 \textit{одновременно} вычисляется максимальный корень в их $D_4$ и наносится на диаграмму. И здесь если в $D_4$ присутствуют пунктирные рёбра, то их висячие концы точно также следует взять со знаком минус.
\item Шаг 2 повторяется, пока на диаграмме есть хотя бы одна вершина степени 3.
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
\centerline{\begin{tikzpicture}

\draw[line width=2pt] (0,0) -- (40:5cm) -- ++(90:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (40:5cm) -- ++(-40:5cm) -- ++(-140:5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0)++(-40:5cm) -- ++(90:5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0)++(40:5cm) -- ++(180:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0) -- (180:5cm) -- ++(40: 5cm);
\draw[line width=2pt,dotted] (0,0) -- (-40:5cm) -- ++(180:5cm) -- ++(140:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,5) -- ++(40:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,5) -- ++(-40:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,5) -- ++(180:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0) -- (90:5cm);
\draw[line width=2pt] (-5,0) -- ++(90:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm) -- ++(90:5cm) -- ++(180:5cm) -- ++(-90:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(90:5cm)++(180:5cm) -- ++(140:5cm) -- ++(0:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(180:5cm) -- ++(90:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0)++(-40:5cm) ++(90:5cm) -- ++(180:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm) -- ++(-180:5cm) -- ++(140:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(-180:5cm) -- ++(-140:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(-180:5cm)++(-140:5cm)++(90:5cm)++(140:5cm) -- ++(40:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(-180:5cm)++(-140:5cm) -- ++(90:5cm) -- ++(140:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(-180:5cm)++(-140:5cm)++(90:5cm) -- ++(40:5cm);
\draw[line width=2pt] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(90:5cm) -- ++(140:5cm);
\draw[line width=2pt, dotted] (0,0)++(40:5cm)++(-40:5cm)++(90:5cm) -- ++(-140:5cm);


\draw[fill=black] circle (3pt) node [below left] {$\gamma_{145}$};
\draw[fill=black] (-5, 0) circle (3pt) node [below left] {$\alpha_1$};
\draw[fill=black] (-5, 5) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_3$};
\draw[fill=black] (0, 5) circle (3pt) node [above left] {$\alpha_{4}$};
\draw[fill=black] (40:5cm) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_{6}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm) circle (3pt) node [below right] {$\eta_{78}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm)++(0, 5) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_2$};
\draw[fill=black] (40:5cm)++(0, 5) circle (3pt) node [above right] {$\alpha_{5}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm)++(-5, 0) circle (3pt) node [below left] {$\eta_{18}$};
\draw[fill=black] (40:5cm)++(-5, 0) circle (3pt) node [above left] {$\gamma_{167}$};
\draw[fill=black] (40:5cm)++(-40:5cm) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_{7}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm)++(-5, 0)++(0,5) circle (3pt) node [below left] {$\eta_{12}$};
\draw[fill=black] (40:5cm)++(-40:5cm)++(0,5) circle (3pt) node [above right] {$\eta_{56}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm)++(-5, 0)++(40:5cm) circle (3pt) node [below right] {$\alpha_{8}$};
\draw[fill=black] (-40:5cm)++(-5, 0)++(40:5cm)++(0,5) circle (3pt) node [above right] {$\zeta_{8}$};
\draw[fill=black] (40:5cm)++(0, 5)++(-5, 0) circle (3pt) node [above left] {$\eta_{34}$};
\end{tikzpicture}}
\caption{Обогащённая диаграмма Дынкина для $E_8$.}
\end{figure}

\textbf{Построение для $E_8$:}
\begin{enumerate}
\item На обогащённую диаграмму Дынкина для $E_7$ добавляется корень $\alpha_8$ вместе с рёбрами в уже имеющиеся вершины.
\item Для всех вершин степени 3 \textit{одновременно} вычисляется максимальный корень в их $D_4$ и наносится на диаграмму. Если в $D_4$ присутствуют пунктирные рёбра, то их висячие концы точно также следует взять со знаком минус.
\item Шаг 2 повторяется, пока на диаграмме есть хотя бы одна вершина степени 3.
\end{enumerate}
\qed
\begin{theorem}
Обогащённые диаграммы Дынкина для $E_6$, $E_7$ и $E_8$ cодержат \textit{все} диаграммы Картера классов сопряженности групп Вейля $W(E_6)$, $W(E_7)$ и $W(E_8)$.
\end{theorem}
\textbf{Доказательство.} Как говорится, \textit{``оставляется читателю в качестве несложного упражнения''}. Нужно просто обнаружить каждую диаграмму из таблицы 3 на рисунках 2--4. Например, чтобы найти на обогащённой диаграмме Дынкина для $E_7$ диаграмму Картера $E_7(a_4)$ --- достаточно взглянуть на неё с разных сторон и взять на свой вкус или $\{\alpha_1, \gamma_{167}, \alpha_6, \alpha_7, \eta_{78}, \eta_{18}, \gamma_{145}\}$, или $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_2, \eta_{78}, \eta_{18}, \gamma_{145}\}$, или $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6, \gamma_{167}, \gamma_{145}\}$, или... 
\qed
\par\smallskip Стоит обратить внимание, что обогащённые диаграммы определяются \textit{однозначно} из самой корневой системы $\Phi$ по построению с точностью до следующей операции: можно изменить знак любой вершины и одновременно переключить все типы рёбер, смежных с ней. Фактически, приведённые на рисунках 2 и 3 диаграммы отличаются от эквивалентных им тем, что все их корни --- \textit{положительные}. Это как раз достигается за счёт того, что на 2 шаге построения для $E_7$ и $E_8$ мы выбираем \textit{одновременно} все вершины степени 3. Если каждый раз брать случайную вершину степени 3, легко получить отрицательный корень (у меня таким изначально получался $\eta_{12}$ в диаграмме для $E_8$). Для $E_6$ процесс завершается слишком быстро после последовательного добавления двух новых вершин, поэтому там такой проблемы не возникает.

\section{Весовые диаграммы}
\par\smallskip Основным местом для изучения $E_6$, $E_7$ и $E_8$ будут \textbf{весовые диаграммы}. Подробнее про них написано в \cite{PSV}, здесь же я приведу буквально только их изображения и совсем немного расскажу про их свойства. 
\par\smallskip Весовые диаграммы появились в следствие того, что работать с геометрическим анализом проекций из 6, 7 или 8 измерения крайне затруднительно. Ведь даже $E_6$ имеет 72 вершины, из-за чего его 2D проекция со всеми рёбрами и вершинами начинает потихоньку сливаться в одно пятно. По ссылке \cite{Madore} можно увидеть все координаты всех корней корневой системы $E_8$, однако даже в такой красивой интерпретации понимать что-то про рёбра и тем более грани вообще не представляется возможным.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \centerline{\includegraphics{E6}}
\caption{Весовая диаграмма $(E_6,\varpi_1)$}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \centerline{\includegraphics{E7}}
\caption{Весовая диаграмма $(E_7,\varpi_7)$}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \centerline{\includegraphics{E8}}
\caption{Весовая диаграмма $(E_8,\varpi_8)$}
  \end{center}
\end{figure}

\par\smallskip На рисунках 5, 6 и 7 изображены весовые диаграммы $(E_6, \varpi_1)$, $(E_7,\varpi_7)$ и $(E_8, \varpi_8)$, первые две из которых я буду активно использовать в Приложениях $A$ и $B$ соответственно. Рёбра здесь устроены таким образом, что под действием отражения $w_i$ концы ребра с меткой $i$ меняются местами. Именно это свойство весовых диаграмм и является в этой работе \textit{самым важным}, однако при помощи них можно понимать, например, сколько рёбер выходит из каждой вершины многогранника, сколько есть граней каждой размерности и как они устроены (например, из-за того, что из левого верхнего узла $(E_7,\varpi_7)$ выходят единственные пути длины 1, 2, 3 и 4, можно сделать вывод о том, что грани размерности 1-4 --- это соответственные симплексы).

\section{Раскраски исключительных многогранников}
\par\smallskip Этот параграф будет посвящён доказательству двух теорем из вступления. Но для начала предъявлю несколько следствий:
\begin{sled}
Количество принципиально различных раскрасок вершин корневого многогранника типа $E_6$ в $n$ цветов $= Z_{27}[n,\ldots, n]$.
\end{sled}
\begin{sled}
Количество принципиально различных раскрасок вершин корневого многогранника типа $E_7$ в $n$ цветов $= Z_{56}[n,\ldots, n]$.
\end{sled}
\begin{sled}
Количество принципиально различных раскрасок граней корневого многогранника типа $E_6$ в $n$ цветов $= Z_{27}[n^2,\ldots, n^2]$. В частности, для $n = 2$ это число будет $350\,661\,193\,456$, а для $n = 3$ --- $ 1\,121\,791\,681\,317\,791\,814\,588 $.
\end{sled}
\textbf{Доказательство.} Первое и второе утверждения напрямую получаются из \textbf{теории перечислений Пойа}, см. \cite{deBruijn}. Третье утверждение выводится из того, что элементы $W(E_6)$ --- \textit{вещественные} (т. е. совпадают со своими \textit{сопряжёнными}), поэтому действие на $(E_6, \varpi_6)$ будет абсолютно такое же, как и на $(E_6, \varpi_1)$. А это как раз и означает, что для рассчёта действия $W(E_6)$ на грани $(E_6, \varpi_2)$ нужно только заменить все переменные их квадратами, после чего вновь воспользоваться теорией перечисления Пойа и подставить конкретные значения. Для $W(E_7)$ схожее утверждение будет неверно, так как его гиперграни устроены иначе.
\qed
\smallskip
\\\textbf{Доказательство Теорем 1 и 2.} Подсчёт этих цикловых индексов будет сделан ручным перебором. Для случая $E_8$ уже необходим компьютер, хотя все упрощения задачи проведены.
\par\smallskip Для подсчёта всего многочлена необходимо посчитать отдельно \textit{цикловой одночлен}, соответствующий действию каждой подсистемы. Коэффициент, с которым этот одночлен войдёт в итоговый индекс, взят из таблиц 9 и 10 в конце \cite{Carter2}. 
\par\smallskip Для каждой подсистемы выбираются корни, которые её образуют. Если подсистема не содержит цикл, то рассматривается композиция отражений относительно этих корней в произвольном порядке. Если же подсистема содержит цикл (см. таблица 3), то она представляет собой двудольный граф. Тогда в этом случае рассматривается сначала композиция отражений относительно корней одной доли в произвольном порядке, затем относительно другой. 
\par\smallskip Как говорилось ранее, на весовой диаграмме действие отражения $w_{a_i}$ меняет местами концы рёбер с меткой $i$. Если мы хотим сделать отражение относительно сложного корня $a_{i_1} + a_{i_2} + ... + a_{i_k}$, то для начала нужно найти все цепочки длины $k$, состоящие из $i_1$, $i_2$, ..., $i_k$ в любом порядке. Тогда $w_{a_{i_1} + a_{i_2} + ... + a_{i_k}}$ меняет местами концы таких цепочек (на иллюстрациях они соединены тонкими линиями своего цвета).
\par\smallskip Затем нужно проследить, куда под действием композиции отражений перейдёт каждая вершина. Вершины, получающиеся одна из другой после действия композиции отражений, на иллюстрациях помечались одним цветом. Если вершина после действия всех отражений переходит сама в себя, то она помечалась белым цветом. Таким образом итоговая диаграмма оказалась окрашена в некоторое количество цветов. По этой раскраске легко восстанавливается цикловой одночлен --- $x_1$ в него входит в степени количества белых вершин (это циклы длины 1), $x_2$ --- в степени количества циклов длины 2 (т. е. количество цветов, в которые оказались покрашены ровно 2 вершины) и т. д.
\par\smallskip Следующие два приложения как раз содержат все необходимые иллюстрации. Эти результаты были получены до осознания того, что вершины всех диаграмм Картера можно выбирать среди вершин одной обогащенной диаграммы Дынкина для $E_8$, но мы не стали на этом этапе менять выбор представителей, поэтому подходящие корни взяты не самым рациональным образом, хотя также присутствует некоторая \textit{наследственность}. 
\qed
\begin{com} 
Стоит также заметить, что всё для подсчёта циклового индекса действия группы Вейля $W(E_8)$ на вершинах $(E_8, \varpi_8)$ всё уже готово --- есть весовая диаграмма на рисунке 7, в таблице 2 перечислены все подсистемы и графы Картера, из рисунка 4 можно легко подобрать для каждого из них представителей. Дальше остаётся только узнать классы сопряжённости группы Вейля, что делается абсолютно также, как описано выше --- через нахождение циклов на весовой диаграмме. Таким образом мы узнаём цикловые одночлены, их коэффициенты точно также берутся из \cite{Carter2}, только из таблицы 11. Осталось только всё сложить и привести подобные одночлены, и вуаля --- цикловой индекс подсчитан! Правда, за скобками здесь оказался поиск цикленного разбиения весовой диаграммы для каждого из 112 обитателей таблицы 2, что немного останавливает ``руки'', но не остановит компьютер.     
\end{com}

\newpage

\appendix\section{Цикловой индекс $E_6$}

\bigskip

1) $\mathbf{\varnothing}$ --- соответствует тождественное отображение, оно оставляет все элементы на месте:
\\\centerline{\includegraphics{E6}} 
\\Все циклы типа 1, одночлен --- ${x_1^{27}}$, коэффициент --- 1.

\bigskip

2) $\mathbf{A_1}$ --- соответствует симметрия относительно одного из корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}}$. Оно меняет местами элементы на концах 1, остальные оставляет на месте:  
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1)}}
\\Видно 6 циклов типа 2 и 15 циклов типа 1, одночлен --- ${x_1^{15}x_2^6}$, коэффициент --- 36.

\bigskip

3) $\mathbf{2A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух перпендикулярных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_4}}$. Оно меняет местами сначала элементы на концах 4, затем на концах 1, остальное оставляет на месте:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa4)}}
\\Видно 10 циклов типа 2 и 7 циклов типа 1, одночлен --- ${x_1^7x_2^{10}}$, коэффициент --- 270.

\bigskip

4) $\mathbf{A_2}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух соседних корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3)}}
\\Видно 6 циклов типа 3 и 9 циклов типа 1, одночлен --- ${x_1^9x_3^6}$, коэффициент --- 240.

\bigskip

5) $\mathbf{3A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно трёх перпендикулярных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_4}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa4wa6)}}
\\Видно 12 циклов типа 2 и 3 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^3x_2^{12}}$, коэффициент --- 540. 

\bigskip

6) $\mathbf{A_2 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух соседних и одного перпендикулярного им корня, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa5)}}
\\Видно 1 цикл типа 6, 4 цикла типа 3, 3 цикла типа 2 и 3 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^3x_2^3x_3^4x_6}$, коэффициент --- 1440.

\bigskip

7) $\mathbf{A_3}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно трёх последовательных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa4)}}
\\Видно 5 циклов типа 4, 1 цикл типа 2 и 5 циклов типа 1, одночлен --- ${x_1^5x_2x_4^5}$, коэффициент --- 1620.

\bigskip

8) $\mathbf{4A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно четырёх перпендикулярных корней, вариант их расположения всего один --- это ${w_{a_0}w_{a_1}w_{a_4}w_{a_6}}$, где ${a_0}$ --- максимальный корень, на диаграмме он связывает обведённые соответственным цветом вершины:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa0wa1wa4wa6)}}
\\Видно 12 циклов типа 2 и 3 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^3x_2^{12}}$, коэффициент --- 45.

\bigskip

9) $\mathbf{A_2 + 2A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух смежных и двух ортогональных остальным корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa2wa5wa6)}} 
\\Видно, что 2 цикла типа 6, 2 цикла типа 3, 4 цикла типа 2 и 1 цикл типа 1, одночлен --- ${x_1x_2^4x_3^2x_6^2}$, коэффициент --- 2160.

\bigskip

10) $\mathbf{2A_2}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух ортогональных пар смежных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa5wa6)}}
\\Видно 9 циклов типа 3, одночлен --- ${x_3^9}$, коэффициент --- 480.

\bigskip

11) $\mathbf{A_3+A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно ортогонального корня и трёх смежных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa4wa6)}} 
\\Видно 5 циклов типа 4, 3 цикла типа 2 и 1 цикл типа 1, одночлен --- ${x_1x_2^3x_4^5}$, коэффициент --- 3240.

\bigskip

12) $\mathbf{A_4}$ --- соответствует симметрии относительно четырёх последовательных корней, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 5 циклов типа 5 и 2 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^2x_5^5}$, коэффициент --- 5184.

\bigskip

13) $\mathbf{D_4}$ --- соответствует симметрии относительно четырёх корней, образующих «букву Т», то есть ${w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa2wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 3 цикла типа 6, 3 цикла типа 2 и 3 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^3x_2^3x_6^3}$, коэффициент --- 1440.

\bigskip

14) $\mathbf{D_4(a_1)}$ --- соответствует особая картинка, а именно замкнутый цикл из четырёх. То есть нам нужно найти 4 корня, противоположные из которых будут перпендикулярны, а остальные --- нет. Для этого подойдут, например:
\\\centerline{\includegraphics{D4(a1)}}
\\Давайте поймём, что они подходят. Для этого перепишем корни иначе:
\\${a_3 = e_3 - e_2}$, ${a_4 = e_4 - e_3}$, ${a_5 = e_5 - e_4}$ и ${a_2 = e_0 + e_1 + e_2 + e_3}$.
\\Тогда ${a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4}$ и ${a_3a_4 =  a_4a_5 =  a_5(a_2 + a_3 + a_4) = -1}$, $(a_2 + a_3 + a_4)a_3 = 1$, а ${a_3a_5 = (a_2 + a_3 + a_4)a_4 = 0}$.
\\Теперь нужно понять, как выглядит отражение относительно них. Устроено оно следующим образом --- наш граф является двудольным, поэтому отражение будет сначала относительно корней одной доли, затем относительно корней другой доли, то есть это ${w_{a_3}w_{a_5}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}}$, где последнее отражение работает следующим образом --- оно переставляет концы цепочки из 2, 3 и 4 в любом порядке. Таких цепочек у нас 6:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (a2 + a3 + a4)}}   
\\Отсюда получается следующее цикленной разбиение:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa3wa5wa4wa2 + a3 + a4)}} 
\\Видно 6 циклов типа 4 и 3 цикла типа 1, одночлен --- ${x_1^3x_4^6}$, коэффициент --- 540.

\bigskip

15) $\mathbf{2A_2 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух пар и одиночного корня, всех перпендикулярных между собой, для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa2wa3wa5wa6)}}
\\Видно 2 цикла типа 6 и 5 циклов типа 3, одночлен --- ${x_3^5x_6^2}$, коэффициент --- 1440.

\bigskip

16) $\mathbf{A_3 + 2A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно тройки и двух одиночных корней, всех перпендикулярных между собой, для примера подойдёт ${w_{a_0}w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa0wa1wa3wa4wa6)}} 
\\Видно 5 циклов типа 4, 3 цикла типа 2 и 1 цикл типа 1, одночлен --- ${x_1x_2^3x_4^5}$, коэффициент --- 540.

\bigskip

17) $\mathbf{A_4 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно перпендикулярных четвёрки и одиночного корня, для примера подойдёт ${w_{a_0}w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa0wa1wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 1 цикл типа 10, 3 цикла типа 5 и 1 цикл типа 2, одночлен --- ${x_2x_5^3x_{10}}$, коэффициент --- 5184.

\bigskip

18) $\mathbf{A_5}$ --- соответствует симметрии относительно пятёрки, то есть ${w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa3wa4wa5wa6)}} 
\\Видно 4 цикла типа 6 и 1 цикл типа 3, одночлен --- ${x_3x_6^4}$, коэффициент --- 4320.

\bigskip

19) $\mathbf{D_5}$ --- соответствует симметрии относительно пятёрки вида «удлинённая Т», для примера подойдёт ${w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa2wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 3 цикла типа 8, 1 цикл типа 2 и 1 цикл типа 1, одночлен --- ${x_1x_2x_8^3}$, коэффициент --- 6480.

\bigskip

20) $\mathbf{D_5(a_1)}$ --- также соответствует особая картинка, замкнутый цикл из четырёх с ребром наружу. Подходящие корни такие же, как и в $\mathbf{D_4(a_1)}$, с добавленным ${a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{D5(a1)}}
\\Действительно, нужно проверить только то, что ${a_6}$ перпендикулярен всем, кроме ${a_5}$. ${a_6 = e_6 - e_5}$, из чего будет следовать требуемое. Соответственное отражение будет устроено как ${w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}}$ и цикленное разбиение будет:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (d5(a1))}} 
\\Видно 1 цикл типа 12, 1 цикл типа 6, 2 цикла типа 4 и 1 цикл типа 1, одночлен --- ${x_1x_4^2x_6x_{12}}$, коэффициент --- 4320.

\bigskip

21) $\mathbf{3A_2}$ --- соответствует трём попарно перпендикулярным парам, то есть $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa0wa1wa2wa3wa5wa6)}}  
\\Видно 9 циклов типа 3, одночлен --- ${x_3^9}$, коэффициент --- 80.

\bigskip

22) $\mathbf{A_5 + A_1}$ --- соответствует перпендикулярной пятёрке и одиночному корню, то есть ${w_{a_0}w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa0wa1wa3wa4wa5wa6)}} 
\\Видно 4 цикла типа 6 и 1 цикл типа 3, одночлен --- ${x_3x_6^4}$, коэффициент --- 1440.

\bigskip

23) $\mathbf{E_6}$ --- cоответствует ${w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (wa1wa2wa3wa4wa5wa6)}} 
\\Видно 2 цикла типа 12 и 1 цикл типа 3, одночлен --- ${x_3x_{12}^2}$, коэффициент --- 4320.

\bigskip

24) $\mathbf{E_6(a_1)}$ --- соответствует особая картинка, цикл из четырёх с двумя рёбрами наружу из соседних вершин. Подходящие корни, например, такие:
\\\centerline{\includegraphics{E6(a1)}}                                  
\\Нетрудно убедиться, что новый корень $a_1 + a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + a_6 = e_0 + e_4 + e_5 + e_6$ не ортогонален ${a_4 = e_4 - e_3}$ и ортогонален всем остальным. Единственная нетривиальная ортогональность ${a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4}$ следует из того, что ${e_0^2 = -1}$. Соответствующее отражение будет ${w_{a_1+a_2+2a_3+3a_4+2a_5+a_6}w_{a_5}w_{a_3}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}}$:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (E6(a1))}} 
\\Видно 3 цикла типа 9, одночлен --- ${x_9^3}$, коэффициент --- 5760.

\bigskip

25) $\mathbf{E_6(a_2)}$ --- соответствует особая картинка, цикл из четырёх с двумя рёбрами из соседних вершин цикла в соединённые снаружи вершины. Подходящие корни, например, такие:
\\\centerline{\includegraphics{E6(a2)}} 
\\Нетрудно убедиться в том, что новый ${a_1 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = e_6 - e_1}$ не ортогонален ${a_6 = e_6 - e_5}$ и ${a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4}$ и ортогонален всем остальным. Значит, соответственное отражение будет иметь вид ${w_{a_3}w_{a_5}w_{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}}$, где ${w_{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6}}$ меняет местами концы голубых линий:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (a2 + a3 + a4 +)}} 
\\Тогда цикленное разбиение устроено так:
\\\centerline{\includegraphics{E6 (E6(a2))}}  
\\Видно 4 цикла типа 6 и 1 цикл типа 3, одночлен --- ${x_3x_6^4}$, коэффициент --- 720.

\bigskip

\newpage

\section{Цикловой индекс $E_7$}

\bigskip

1) $\mathbf{\varnothing}$ --- соответствует тождественное отображение, оно оставляет все элементы на месте:
\\\centerline{\includegraphics{E7}}
\\Все циклы типа 1, одночлен --- $x_1^{56}$, коэффициент --- 1.

\bigskip

2) $\mathbf{A_1}$ --- соответствует симметрия относительно одного из корней, для примера подойдёт $w_{a_1}$. Оно меняет местами элементы на концах 1, остальные оставляет на месте. В дальнейшем, пока не будет возникать $w_{a_7}$, можно рассматривать не всю диаграмму, а только верхнюю её половину, так как в другой части всё происходит аналогично:   
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1)}}
\\Видно 12 циклов типа 2 и 32 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^{32}x_2^{12}$, коэффициент --- $3^2 \cdot 7$.

\bigskip

3) $\mathbf{2A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух перпендикулярных корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_4}$. Оно меняет местами сначала элементы на концах 4, затем на концах 1, остальное оставляет на месте:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa4)}}
\\Видно 20 циклов типа 2 и 16 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^{16}x_2^{20}$, коэффициент --- $3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

4) $\mathbf{A_2}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух соседних корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3)}} 
\\Видно 12 циклов типа 3 и 20 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^{20}x_3^{12}$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3 \cdot 7$.

\bigskip

5) $\mathbf{(3A_1)'}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно трёх перпендикулярных корней, ни один из которых не является $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_4}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa4wa6)}}
\\Видно 24 цикла типа 2 и 8 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^8x_2^{24}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$. 

\bigskip
6) $\mathbf{(3A_1)''}$ --- получается из $\mathbf{(3A_1)'}$ заменой $a_3$ или $a_5$ на $a_2$. Так как в нашем примере для $\mathbf{(3A_1)'}$ выше использовалось $w_{a_1}w_{a_4}w_{a_6}$, которое не содержит ни $a_3$, ни $a_5$, то здесь придётся для $\mathbf{(3A_1)'}$ взять пример $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}$ и заменить в нём $a_3$ на $a_2$, получив $w_{a_2}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa2wa5wa7)}}
\\Видно 28 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{28}$, коэффициент --- $3^2 \cdot 5 \cdot 7$. 

\bigskip

7) $\mathbf{A_2 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух соседних и одного перпендикулярного им корня, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa5)}} 
\\Видно 2 цикла типа 6, 8 циклов типа 3, 6 циклов типа 2 и 8 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^8x_2^6x_3^8x_6^2$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

8) $\mathbf{A_3}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно трёх последовательных корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa4)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4, 2 цикла типа 2 и 12 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^{12}x_2^2x_4^{10}$, коэффициент ---  $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

9) $\mathbf{(4A_1)'}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно четырёх перпендикулярных корней, без задействия $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}$, где $a_0$ --- максимальный корень, на диаграмме он связывает обведённые соответственным цветом вершины:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa3wa5wa7)}} 
\\Видно 24 цикла типа 2 и 8 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^8x_2^{24}$, коэффициент --- $3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

10) $\mathbf{(4A_1)''}$ --- получается из $\mathbf{(3A_1)'}$ заменой $a_3$ или $a_5$ на $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa5wa7)}} 
\\Видно 28 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{28}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

11) $\mathbf{A_2 + 2A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух смежных и двух ортогональных остальным корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa2wa5wa6)}} 
\\Видно, что 4 цикла типа 6, 4 цикла типа 3, 8 циклов типа 2 и 4 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^4x_2^8x_3^4x_6^4$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

12) $\mathbf{2A_2}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух ортогональных пар смежных корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa5wa6)}}
\\Видно 18 циклов типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^{18}$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

13) $\mathbf{(A_3+A_1)'}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно ортогонального корня и трёх смежных корней, без задействия $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa4wa6)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4, 6 циклов типа 2 и 4 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^4x_2^6x_4^{10}$, коэффициент --- $2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

14) $\mathbf{(A_3+A_1)''}$ --- получается из $\mathbf{(A_3+A_1)'}$ задействием $a_2$ вместо $a_3$ или $a_5$, для примера на $\mathbf{(A_3+A_1)'}$ подойдёт $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$, тогда в этом случае будет $w_{a_2}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa2wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4 и 8 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^8x_4^{10}$, коэффициент --- $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

15) $\mathbf{A_4}$ --- соответствует симметрии относительно четырёх последовательных корней, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 10 циклов типа 5 и 6 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^6x_5^{10}$, коэффициент --- $2^8 \cdot 3^3 \cdot 7$.

\bigskip

16) $\mathbf{D_4}$ --- соответствует симметрии относительно четырёх корней, образующих «букву Т», то есть $w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa2wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 6 циклов типа 6, 6 циклов типа 2 и 8 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^8x_2^6x_6^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

17) $\mathbf{D_4(a_1)}$ --- соответствует особая картинка, а именно замкнутый цикл из четырёх, точно такая же, как и для $\mathbf{E_6}$, то есть это $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa3wa5wa4wa2 + a3 + a4)}} 
\\Видно 12 циклов типа 4 и 8 циклов типа 1, одночлен --- $x_1^8x_4^{12}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

18) $\mathbf{5A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно пяти перпендикулярных корней, это бывает только для $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa3wa5wa7)}}
\\Видно 28 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{28}$, коэффициент --- $3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

19) $\mathbf{A_2 + 3A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно пары и тройки одиночного корня, всех перпендикулярных между собой, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa2wa3wa5wa7)}}
\\Видно 6 циклов типа 6 и 10 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{10}x_6^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

20) $\mathbf{2A_2 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно двух пар и одиночного корня, всех перпендикулярных между собой, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa2wa3wa5wa6)}}
\\Видно 4 цикла типа 6, 10 циклов типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^{10}x_6^4$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

21) $\mathbf{(A_3 + 2A_1)'}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно тройки и двух одиночных корней, всех перпендикулярных между собой и без задействия $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa3wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4, 6 циклов типа 2 и 4 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^4x_2^6x_4^{10}$, коэффициент --- $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

22) $\mathbf{(A_3 + 2A_1)''}$ --- получается из $\mathbf{(A_3 + 2A_1)'}$ заменой $a_3$ на $a_2$, то есть $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4 и 8 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^8x_4^{10}$, коэффициент --- $2^4 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

23) $\mathbf{A_3 + A_2}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно тройки и пары, перпендикулярных между собой, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa3wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 2 цикла типа 12, 4 цикла типа 4, 4 цикла типа 3 и 2 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^2x_3^4x_4^4x_{12}^2$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

24) $\mathbf{A_4 + A_1}$ --- соответствует последовательной симметрии относительно перпендикулярных четвёрки и одиночного корня, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa3wa4wa5wa7)}} 
\\Видно 2 цикла типа 10, 6 циклов типа 5, 2 цикла типа 2 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_2^2x_5^6x_{10}^2$, коэффициент --- $2^8 \cdot 3^4 \cdot 7$.

\bigskip

25) $\mathbf{(A_5)'}$ --- соответствует симметрии относительно пятёрки без $a_2$, то есть $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa3wa4wa5wa6)}} 
\\Видно 8 циклов типа 6, 2 цикла типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^2x_6^8$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

26) $\mathbf{(A_5)''}$ --- получается из $\mathbf{(A_5)'}$ заменой $a_3$ на $a_2$, то есть $w_{a_2}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa2wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

27) $\mathbf{D_4 + A_1}$ --- соответствует симметрии относительно четвёрки вида «Т» и перпендикулярного ей корня, для примера подойдёт $w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa2wa3wa4wa5wa7)}} 
\\Видно 6 циклов типа 6 и 10 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{10}x_6^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

28) $\mathbf{D_4(a_1) + A_1}$ --- соответствует симметрии относительно $\mathbf{D_4(a_1)}$ и перпендикулярного ей корня, для примера подойдёт $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa3wa5wa7wa4wa2+a3+a4)}} 
\\Видно 12 циклов типа 4 и 4 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^4x_4^{12}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

29) $\mathbf{D_5}$ --- соответствует симметрии относительно пятёрки вида «удлинённая Т», для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa2wa3wa4wa5)}} 
\\Видно 6 циклов типа 8, 2 цикла типа 2 и 4 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^4x_2^2x_8^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

30) $\mathbf{D_5(a_1)}$ --- соответствует особая картинка, а именно замкнутый цикл из четырёх c ребром наружу, точно такая же, как и для $\mathbf{E_6}$, то есть отражение будет устроено как $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$ и цикленное разбиение будет:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (D5(a1))}} 
\\Видно 2 цикла типа 12, 2 цикла типа 6, 4 цикла типа 4 и 4 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^4x_4^4x_6^2x_{12}^2$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

31) $\mathbf{6A_1}$ --- соответствует шести попарно перпендикулярным корням, у нас уже есть пять: $a_0$, $a_2$, $a_3$, $a_5$, $a_7$, шестой перпендикулярный им будет $a_2 + a_3 + 2a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7 = e_0 + e_1 + e_6 + e_7$. Легко видеть, что он перпендикулярен всем остальным, если помнить, что $e_0^2 = -1$ и $a_0 = 2e_0 + e_2 + ... + e_7$, отражение относительно этого корня устроено так:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa2+a3+2a4+2a5+2a6+a7)}}  
\\То есть итоговое отражение будет $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}w_{a_2 + a_3 + 2a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa3wa5wa7wa2+a3+2a4+2a5+2a6+a7)}}  
\\Видно 28 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{28}$, коэффициент --- $3^2 \cdot 7$.

\bigskip

32) $\mathbf{3A_2}$ --- соответствует трём попарно перпендикулярным парам, то есть $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_2}w_{a_4}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa2wa4wa6wa7)}}  
\\Видно 18 циклов типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^{18}$, коэффициент --- $2^6 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

33) $\mathbf{A_3 + 3A_1}$ --- соответствует попарно перпендикулярным тройке и трём одиночным корням, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa3wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 10 циклов типа 4 и 8 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^8x_4^{10}$, коэффициент --- $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

34) $\mathbf{A_3 + A_2 + A_1}$ --- соответствует попарно перпендикулярным тройке, паре и одиночному корню, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa2wa3wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 2 цикла типа 12, 2 цикла типа 6, 4 цикла типа 4 и 2 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^2x_4^4x_6^2x_{12}^2$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

35) $\mathbf{2A_3}$ --- соответствует перпендикулярным тройкам, то есть $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa3wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 12 циклов типа 4 и 4 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^4x_4^{12}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

36) $\mathbf{A_4 + A_2}$ --- соответствует перпендикулярным четвёрке и паре, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 2 цикла типа 15, 4 цикла типа 5 и 2 цикла типа 3, одночлен --- $x_3^2x_5^4x_{15}^2$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^3 \cdot 7$.

\bigskip

37) $\mathbf{(A_5 + A_1)'}$ --- соответствует перпендикулярной пятёрке и одиночному корню, которые не содержат в себе $a_2$, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa3wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 8 циклов типа 6, 2 цикла типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^2x_6^8$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

38) $\mathbf{(A_5 + A_1)''}$ --- получается из $\mathbf{(A_5 + A_1)'}$ заменой $a_3$ на $a_2$  то есть $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

39) $\mathbf{A_6}$ --- cоответствует шестерке, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa3wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 8 циклов типа 7, одночлен --- $x_7^8$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^4 \cdot 5$.

\bigskip

40) $\mathbf{D_4 + 2A_1}$ --- cоответствует попарно перпендикулярным четвёрке типа ``буква Т'' и двум одиночным корням, то есть $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa3wa4wa5wa7)}} 
\\Видно 6 циклов типа 6 и 10 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{10}x_6^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

41) $\mathbf{D_5 + A_1}$ --- cоответствует попарно перпендикулярным удлинённой ``букве Т'' и одиночному корню, для примера подойдёт $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa2wa3wa4wa5wa7)}} 
\\Видно 6 циклов типа 8 и 4 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^4x_8^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

42) $\mathbf{D_5(a_1) + A_1}$ --- соответствует особая картинка, а именно замкнутый цикл из четырёх c ребром наружу и перпендикулярный всему этому корень, то есть $\mathbf{D_5(a_1)}$ будет устроен как $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$, а перпендикулярный ему корень будет $a_0$ --- из диаграммы он очевидно перпендикулярен всем, кроме $a_2 + a_3 + a_4$, но $a_0 = 2e_0 + e_2 + ... + e_7$, а $a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4$, их произведение действительно 0. Тогда итоговое цикленное разбиение будет:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa3wa5wa6wa4wa2+a3+a4)}} 
\\Видно 2 цикла типа 12, 2 цикла типа 6, 4 цикла типа 4 и 2 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^2x_4^4x_6^2x_{12}^2$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

43) $\mathbf{D_6}$ --- cоответствует $w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (D6)}} 
\\Видно 5 циклов типа 10 и 3 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^3x_{10}^5$, коэффициент --- $2^8 \cdot 3^4 \cdot 7$.

\bigskip

44) $\mathbf{D_6(a_1)}$ --- cоответствует особая картинка --- цикл из четырёх с ``двойным хвостом'' наружу. Нам подойдут, например, корни $\mathbf{D_5(a_1)}$ и добавленный к ним $a_7$ --- он как раз перпендикулярен всему, кроме $a_6$. Как обычно, перпендикулярность $a_2+a_3+a_4$ слпедует из того, что $a_7 = e_7 - e_6$, а $a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4$. Тогда соотвественное отражение будет устроено как $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}w_{a_4}w_{a_6}w_{a_2+a_3+a_4}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (D_6(a_1))}} 
\\Видно 6 циклов типа 8 и 2 цикла типа 4, одночлен --- $x_4^2x_8^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

45) $\mathbf{D_6(a_2)}$ --- cоответствует особая картинка --- цикл из четырёх с диаметрально противоположными рёбрами наружу. Получим мы его так --- снова возьмём $\mathbf{D_5(a_1)}$ за основу и добавим к нему корень $a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = e_7 - e_2$. Он как раз будет перпендикулярен всему остальному, кроме $a_3 = e_3 - e_2$, так как в их представлении просто отсутствуют и $e_2$, и $e_7$. Тогда соответственное отражение будет устроено как  $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_3+a_4+a_5+a_6+a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (D_6(a_2))}} 
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

46) $\mathbf{E_6}$ --- cоответствует $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (wa1wa2wa3wa4wa5wa6)}} 
\\Видно 4 цикла типа 12, 2 цикла типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^2x_{12}^4$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

47) $\mathbf{E_6(a_1)}$ --- соответствует особая картинка, цикл из четырёх с двумя рёбрами наружу из соседних вершин:
\\\centerline{\includegraphics{E6(a1)}}                                  
\\Так как она получается из $\mathbf{D_5(a_1)}$, нужно проверить, что новый корень $a_1 + a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 2a_5 + a_6 = e_0 + e_4 + e_5 + e_6$ не ортогонален $a_4 = e_4 - e_3$ и ортогонален всем остальным. Единственная нетривиальная ортогональность $a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4$ следует из того, что $e_0^2 = -1$. Соответствующее отражение будет $w_{a_1+a_2+2a_3+3a_4+2a_5+a_6}w_{a_5}w_{a_3}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (E6(a1))}} 
\\Видно 6 циклов типа 9 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_9^6$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

48) $\mathbf{E_6(a_2)}$ --- соответствует особая картинка, цикл из четырёх с двумя рёбрами из соседних вершин цикла в соединённые снаружи вершины:
\\\centerline{\includegraphics{E6(a2)}} 
\\Так как она получается из $\mathbf{D_5(a_1)}$, нужно проверить, что новый $a_1 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = e_6 - e_1$ не ортогонален $a_6 = e_6 - e_5$ и $a_2 + a_3 + a_4 = e_0 + e_1 + e_3 + e_4$ и ортогонален всем остальным. Значит, соответственное отражение будет иметь вид $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}$, тогда цикленное разбиение устроено так:
\\\centerline{\includegraphics{E7' (E6(a2))}}  
\\Видно 8 циклов типа 6, 2 цикла типа 3 и 2 цикла типа 1, одночлен --- $x_1^2x_3^2x_6^8$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

49) $\mathbf{7A_1}$ --- соответствует семи попарно перпендикулярным корням, то есть к $\mathbf{6A_1}$ нужно добавить перпендикулярный всему корень, подойдёт $a_2 + a_3 + 2a_4 + a_5 = e_0 + e_1 + e_4 + e_5$. Он очевидно перпендикулярен остальным корням: $2e_0 + e_2 + ... + e_7$, $e_3 - e_2$, $e_5 - e_4$, $e_7 - e_6$, $e_0 + e_1 + e_2 + e_3$ и $e_0 + e_1 + e_6 + e_7$. Тогда итоговое отражение будет устроено как $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_7}w_{a_2 + a_3 + 2a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7}w_{a_2 + a_3 + 2a_4 + a_5}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (7A1)}}  
\\Видно 28 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{28}$, коэффициент --- $1$.

\bigskip

50) $\mathbf{2A_3 + A_1}$ --- соответствует попарно перпендикулярным двум тройкам и одиночному корню, то есть $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa2wa3wa5wa6wa7)}}  
\\Видно 12 циклов типа 4 и 4 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^4x_4^{12}$, коэффициент --- $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

51) $\mathbf{A_5 + A_2}$ --- соответствует перпендикулярным пятёрке и паре, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_2}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa2wa4wa5wa6wa7)}}  
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

52) $\mathbf{A_7}$ --- соответствует $w_{a_0}w_{a_1}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa1wa3wa4wa5wa6wa7)}}  
\\Видно 6 циклов типа 8 и 2 цикла типа 4, одночлен --- $x_4^2x_8^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

53) $\mathbf{D_4 + 3A_1}$ --- соответствует четвёрке типа ``буква Т'' и трём одиночным корням, попарно перпендикулярным между собой. Можно взять $\mathbf{D_4 + 2A_1}$ и добавить к нему $a_2 + a_3 + 2a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7 = e_0 + e_1 + e_6 + e_7$, который будет перпендикулярен всему остальному, то есть отражение будет $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_7}w_{a_2 + a_3 + 2a_4 + 2a_5 + 2a_6 + a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (D_4 + 3A_1)}}  
\\Видно 6 циклов типа 6 и 10 циклов типа 2, одночлен --- $x_2^{10}x_6^6$, коэффициент --- $2^5 \cdot 3 \cdot 7$.

\bigskip

54) $\mathbf{D_6 + A_1}$ --- соответствует $\mathbf{D_6}$ и перпендикулярному ему корню, для примера подойдёт $w_{a_0}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa0wa2wa3wa4wa5wa6wa7)}}  
\\Видно 5 циклов типа 10 и 3 цикла типа 2, одночлен --- $x_2^3x_{10}^5$, коэффициент --- $2^8 \cdot 3^3 \cdot 7$.

\bigskip

55) $\mathbf{D_6(a_2) + A_1}$ --- соответствует $\mathbf{D_6(a_2)}$ и перпендикулярному ему корню, за который можно взять $a_0$. Он действительно будет перпендикулярен и $e_7 - e_2$, и $e_0 + e_1 + e_3 + e_4$, а перпендикулярность простым корням очевидна из расширенной схемы Дынкина. То есть отражение будет $w_{a_0}w_{a_3}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_3+a_4+a_5+a_6+a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (D_6(a_2) + A_1)}}  
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

56) $\mathbf{E_7}$ --- cоответствует $w_{a_1}w_{a_2}w_{a_3}w_{a_4}w_{a_5}w_{a_6}w_{a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (wa1wa2wa3wa4wa5wa6wa7)}} 
\\Видно 3 цикла типа 18 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_{18}^3$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

57) $\mathbf{E_7(a_1)}$ --- cоответствует особой картинке:
\\\centerline{\includegraphics{E7(a1)}} 
\\Она получается из $\mathbf{E_6(a_1)}$ добавлением одного ребра --- если в его конец поставить $a_0 = 2e_0 + e_2 + ... + e_7$, то все необходимые перпендикулярности соблюдутся. Действительно, $a_0$ и $a_1+a_2+2a_3+3a_4+2a_5+a_6 = e_0 + e_4 + e_5 + e_6$ в произведении дадут 1, а всем остальным $a_0$ будет перпендикулярен. Тогда отражение будет $w_{a_1+a_2+2a_3+3a_4+2a_5+a_6}w_{a_5}w_{a_3}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_0}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (E_7(a_1))}} 
\\Видно 4 цикла типа 14, одночлен --- $x_{14}^4$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^4 \cdot 5$.

\bigskip

58) $\mathbf{E_7(a_2)}$ --- cоответствует особой картинке:
\\\centerline{\includegraphics{E7(a2)}}
\\Она получается из $\mathbf{E_6(a_1)}$ добавлением одного ребра --- если в его конец поставить $a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = e_7 - e_2$, то он будет перпендикулярен всему, кроме $a_3$, так как никакие другие корни не содержат в своём разложении ни $e_2$, ни $e_7$. Тогда отражение будет $w_{a_1+a_2+2a_3+3a_4+2a_5+a_6}w_{a_5}w_{a_3}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (E_7(a_2))}} 
\\Видно 4 цикла типа 12, 1 цикл типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6x_{12}^4$, коэффициент --- $2^7 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

59) $\mathbf{E_7(a_3)}$ --- cоответствует особой картинке:
\\\centerline{\includegraphics{E7(a3)}}
\\Она получается из $\mathbf{E_6(a_2)}$ добавлением одного ребра --- если в его конец поставить $a_0 = 2e_0 + e_2 + ... + e_7$, то все необходимые перпендикулярности соблюдутся. Действительно, $a_0$ и $a_1 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = e_6 - e_1$ в произведении дадут 1, а остальные новые произведения будут 0. Тогда отражение будет $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_0}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (E_7(a_3))}} 
\\Видно 1 цикл типа 30, 2 цикла типа 10 и 1 цикл типа 6, одночлен --- $x_6x_{10}^2x_{30}$, коэффициент --- $2^9 \cdot 3^3 \cdot 7$.

\bigskip

60) $\mathbf{E_7(a_4)}$ --- cоответствует особой картинке:
\\\centerline{\includegraphics{E7(a4)}}
\\Она получается из $\mathbf{E_6(a_2)}$ добавлением двух рёбер --- если в их конец поставить $a_2 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = e_0 + e_1 + e_2 + e_7$, то новый корень будет перпендикулярен всему, кроме $a_3 = e_3 - e_2$ и $a_1 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = e_6 - e_1$. Тогда отражение будет $w_{a_3}w_{a_5}w_{a_1+a_3+a_4+a_5+a_6}w_{a_6}w_{a_4}w_{a_2+a_3+a_4}w_{a_2 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7}$:
\\\centerline{\includegraphics{E7 (E_7(a_4))}} 
\\Видно 9 циклов типа 6 и 1 цикл типа 2, одночлен --- $x_2x_6^9$, коэффициент --- $2^6 \cdot 5 \cdot 7$.

\bigskip

\begin{thebibliography}{20}

\bibitem{BB}
G.~Blind, R.~Blind, \emph{The semiregular polytopes}.
Comment. Math. Helv. {\bf 66} (1991), no.~1, 150--154.

\bibitem{Bourbaki}
N.~Bourbaki, \emph{\'El\'ements de math\'ematique. 
Fasc.\/ {\rm XXXIV}. Groupes et alg\`ebres de Lie. 
Chapitre\/ {\rm IV:} Groupes de Coxeter et syst\`emes 
de Tits. Chapitre\/ {\rm V:} Groupes engendr\'es par 
des r\'eflexions. Chapitre\/ {\rm VI:} Syst\`emes de racines.} 
Actualit\'es Scientifiques et Industrielles, No.~1337, 
Hermann, Paris 1968 288 pp.

\bibitem{deBruijn}
N.~G.~de Bruijn, \emph{P\'olya's Theory of Counting}.
In E. F. Beckenbach (Ed.), Applied combinatorical
mathematics (1964), 144--184.

\bibitem{Carter1}
R.~Carter, \emph{Conjugacy classes in the Weyl group}. 
1970 Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups 
(The Institute for Advanced Study, Princeton, N.J., 1968/69), 
297--318 Springer, Berlin.

\bibitem{Carter2}
R.~W.~Carter, \emph{Conjugacy classes in the Weyl group}, 
Compos. Math. {\bf 25} (1972), no.~1, 1--59.

\bibitem{CS1}
J.~Conway, N.~Sloane, \emph{Sphere packing, lattices, and groups}, Springer-Verlag, New York, 1988.

\bibitem{CS2}
J.~Conway, N.~Sloane, \emph{The cell structures of certain lattices},
 In: Miscelanea Mat., (eds. P. Hilton, F. Hirzebruch, and
R. Remmert), Springer-Verlag, New York, 1991, 71--107.

\bibitem{Cox1935}
H.~S.~M.~Coxeter,
\emph{Wythoff's construction for uniform polytopes}.
Proc. London Math. Soc. (2) 38 (1935), 327--339.

\bibitem{Cox1940}
H.~S.~M.~Coxeter,
\emph{The polytope $2_{21}$, whose twenty-seven vertices 
correspond to the lines on the general cubic surface}.
Amer. J. Math. {\bf 62} (1940), 457--486.

\bibitem{Cox1948}
H.~S.~M.~Coxeter, \emph{Regular Polytopes}, 3rd edition. 
Dover, New York, 1973.

\bibitem{Cox1985}
H.~S.~M.~Coxeter,
\emph{Regular and semi-regular polytopes}, II. Math. Z. 
{\bf 188} (1985), 559--591.

\bibitem{Cox1988}
H.~S.~M.~Coxeter,
\emph{Regular and semi-regular polytopes}, III. Math. Z. 
{\bf 200} (1988), 3--45. Reprinted in \emph{Kaleidoscopes: 
Selected Writings of H.~S.~M.~Coxeter}, eds. F.~A.~Sherk, 
P.~McMullen, A.~C.~Thompson and
A.~I.~Weiss, Wiley Interscience (New York, etc., 1995), 313--355.

\bibitem{Cox1991}
H.~S.~M.~Coxeter, Regular Complex Polytopes, 2nd edition. 
Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

\bibitem{Cox}
H.~S.~M.~Coxeter, \emph{The evolution of Coxeter---Dynkin 
diagrams}. Nieuw
Archief voor Wiskunde 9 (1991), 223--248. Reprinted in 
\emph{Kaleidoscopes}
(eds. F.~A.~Sherk, P.~McMullen, A.~C.~Thompson and A.~I.~Weiss) Wiley Interscience (New York, etc., 1995), and in substantially revised form
in \emph{Polytopes: Abstract, Convex and Computational} 
eds. T.~Bisztriczky, P.~McMullen, R.~Schneider and A.~I.~Weiss, NATO ASI Series C 440,
Kluwer (Dordrecht etc., 1994), 21--42.

\bibitem{Dynkin}
E.~B.~Dynkin, 
\emph{Semisimple subalgebras of semisimple Lie algebras,} 
Mat. Sbornik, {\bf 32}
(1952), 349--462 (Russian), 
English translation in Amer. Math. Soc. Transl. {\bf 6} (1957), 
111--244.

\bibitem{DM}
E.~B.~Dynkin, A.~N.~Minchenko,  
\emph{Enhanced Dynkin diagrams and Weyl orbits.} 
Transform. Groups {\bf 15} (2010), no.~4, 813--841.

\bibitem{HV}
A.~Harebov, N.~Vavilov,
\emph{On the lattice of subgroups of Chevalley groups containing a split maximal torus}. Comm. Algebra {\bf 24} (1996), no.~1, 109--133.

\bibitem{Humphreys}
J.~E.~Humphreys, 
\emph{Reflection Groups and Coxeter Groups}, 
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 29. 
Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

\bibitem{Madore}
D. Madore, \emph{The $E_8$ root system}, http://www.madore.org/\textasciitilde david/math/e8w.html.

\bibitem{Mak1}
P.~V.~Makarov
\emph{Four-dimensional almost regular polyhedra}.
Izv. Akad. Nauk Moldav. SSR 
Ser. Fiz.-Tekhn. Mat. Nauk 1987, no.~2, 10--14, (Russian)

\bibitem{Mak2}
P.~V.~Makarov
\emph{On the derivation of four-dimensional semi-regular 
polytopes}, 
Mat. Issled. {\bf 103}, Voprosy Diskret. Geom. (1988), 139--150,
(Russian).

\bibitem{Manin}
Yu.~I.~Manin, \emph{Cubic forms: algebra, geometry, arithmetic}, 
North-Holland Mathematical Library, vol. 4, 
North-Holland Publishing Co., American Elsevier Publishing Co., Amsterdam-London, New York, 1974.

\bibitem{MM1}
P.~McMullen, 
\emph{Modern developments in regular polytopes}, 
In: T.~Bisztriczky, P.~McMullen, R.~Schneider and 
A.~I.~Weiss (eds.), 
\emph{Polytopes: Abstract, Convex and Computational}, 
97--124, NATO ASI Series C 440, Kluwer, Dordrecht etc., 1994.

\bibitem{MM2}
P.~McMullen, \emph{New regular compounds of $4$-polytopes}. 
New trends in intuitive geometry, 307--320,
Bolyai Soc. Math. Stud., 27, 
J\/'anos Bolyai Math. Soc., Budapest, 2018.

\bibitem{MM3}
P.~McMullen, \emph{Geometric regular polytopes}, 
Cambridge University Press, 2020.

\bibitem{MS}
P.~McMullen, E.~Schulte, \emph{Abstract regular polytopes}, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 92, 
Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

\bibitem{MV} V. Migrin, N. Vavilov, \emph{Exceptional Uniform Polytopes of the $E_6$, $E_7$ and $E_8$ Symmetry Types}, https://pca-pdmi.ru/2021/f{i}les/59/Migrin-Vavilov-PCA2021\%20(1).pdf.

\bibitem{MVD} V. Migrin, N. Vavilov, \emph{Enchanced Dynkin Diagrams done right}, в
печати в "Записках научн. семинаров ПОМИ".

\bibitem{MP1}
R.~V.~Moody, J.~Patera, \emph{Voronoi and Delaunay cells of root lattices: Classification of their faces and facets by Coxeter---Dynkin diagrams}, J. Phys. A, Math. Gen. {\bf 25} (1992), 5089--5134.

\bibitem{MP2}
R.~V.~Moody, J.~Patera, \emph{Voronoi domains and dual cells 
in the generalized kaleidoscope with applications to root and weight lattices}, Canad. J. Math. {\bf 47} (1995), no.~3, 573--605.

\bibitem{PSV}
E.~Plotkin, A.~Semenov, N.~Vavilov,
\emph{Visual basic representations: an atlas}. 
Internat. J. Algebra Comput. {\bf 8} (1998), no.~1, 61--95.

\bibitem{Stek}
R.~Stekolshchik,
\emph{Equivalence of Carter diagrams},
Algebra Discrete Math. {\bf 23} (2017), no.~1, 138--179.

\bibitem{Sza1}
M.~Szajewska,
\emph{Faces of Platonic solids in all dimensions}. 
Acta Crystallogr. Sect. A {\bf 70} (2014), no.~4, 358--363.

\bibitem{Sza2}
M.~Szajewska,
\emph{Faces of root polytopes in all dimensions}. 
Acta Crystallogr. Sect. A {\bf 72} (2016), 465--471.

\bibitem{VLP}
N.~A.~Vavilov, A.~Yu.~Luzgarev, I.~M.~Pevzner, 
\emph{Chevalley group of type $E_6$ in the $27$-dimensional representation}. 
J. Math. Sci. (N.Y.) {\bf 145} (2007), no.~1, 4697--4736.

\end{thebibliography}

\end{document}