Probabilistic representations of Cauchy problem solutions for some evolutionary problems

Abstract

В работе рассматриваются эволюционные уравнения с некоторым интегрально-разностным оператором. Для вероятностного представления решения задачи Коши для таких уравнений требуются случайные процессы с независимыми приращениями. Для таких процессов в работе строится представление в виде стохастического интеграла по некоторому пуассоновскому случайному полю. Также строится аппроксимация произвольных процессов с независимыми приращениями процессами с конечной спектральной мерой. Математические ожидания функционалов от таких процессов также являются решениями некоторых уравнений. Доказана теорема о сходимости таких решений к решению предельного уравнения.

In our paper we study evolution equations with some integrodifference operator. Probabilistic representation of the Cauchy problem solution for such equations requires stochastic processes with independent increments. We construct representation of the processes in the form of stochastic integral over some Poisson random field. Also we construct approximation of arbitrary processes with independent increments with finite spectral measure. Mathematical expectations of functionals of the processes are also solutions for some equations. We prove the theorem about convergence of these solutions to the solution of the limit equation.