Investigation of the Hamiltonian spectrum of the one-dimensional Gribov model

Abstract

В работе поставлена задача нахождения спектра одномерной квантовой модели Грибова. Модель Грибова - эффективная модель квантовой теории поля в трехмерном пространстве, применяемая для описания процессов рассеяния частиц при высокой энергии в квантовой хромодинамике. Одномерная модель Грибова служит упрощенным примером, на котором можно изучать особенности полной модели ("игрушечная теория"). Поскольку эта теория эквивалентна нетривиальной модели квантовой механики, появляется возможность исследовать ее точные решения вне рамок теории возмущений, используя методы квантовой механики. В ходе выполнения работы были найдены классические решения для одномерной модели Грибова, соответствующие известным классическим пределам, найдены, путём подстановки анзаца, асимптотики квантовых решений, а также представлен метод нахождения энергетического спектра оператора Гамильтона, соответствующего этой модели, при помощи решения центральной двухточечной задачи связи для уравнения Шрёдингера. Суть метода заключается в отборе асимптотик поведения решения уравнения Шрёдингера, согласующихся с требованиями нормируемости и аналитичности, вследствие чего возникает соотношение на вронскиан решения в виде сходящегося степенного ряда в окрестности нуля и асимптотического ряда для решения в окрестности бесконечности. Далее это соотношение, при помощи введения вспомогательных функций, приводит к уравнению на энергии. Данный метод позволит оценить значения уровней энергии численно, но аналитически получающееся уравнение разрешить не удаётся.

The main aim of the presented work is to find the spectrum of one-dimensional Gribov model. Gribov model is an effective quantum field theory model in three-dimensional space and is used for describing high-energy scattering processes in quantum chromodynamics. One-dimensional Gribov model is a simplified case that can be used to study the full model (so-called "toy-model"). Since this theory is equivalent to non-trivial quantum mechanics model, it is possible to examine its precise solutions without exploiting perturbation theory, but with methods of quantum mechanics. During this work classical solutions for one-dimensional Gribov model were found and they do correspond to known classical limits, also a method exploiting the solution of central two-point connection problem for Schrödinger equation for finding energy spectrum of the corresponding Hamilton operator is presented. The idea of the method is to choose Schrödinger equation's solution's asymptotics that agree with normability and analyticity conditions, hence a connection between wronskian of the solution in the form of converging series in the vicinity of zero with asymptotic series in the vicinity of infinity appears. This connection then allows to write an equation on energies with the help of auxiliary functions. This method will allow to numerically estimate the values of energy levels, but given equation isn't to be resolved analytically.