ОТЗЫВ                         научного руководителя на выпускную квалификационную работу Евгения Михайловича Кузьминского    "Исследование спектра гамильтониана одномерной модели Грибова",         представленную на соискание степени бакалавра физики.  В 1967 году В.Н.Грибов получил асимптотику диаграмм Фейнмана квантовой хромодинамики в так называемом реджевском пределе, когда полная энергия процесса много больше переданного импульса. Известно, что полное сечение рассеяния адронов в реджевском режиме может описываться взаимодействием с помероном - виртуальной частицей, отвечающей движущейся особенности в комплексной плоскости момента импульса (особенности Померанчука). Почти сразу полученные асимптотические выражения были осмыслены как диаграммы Фейнмана эффективной модели, описывающей комплексное скалярное поле померона в трехмерном пространстве-времени, причем роль мнимого времени играет величина быстроты (логарифма полной энергии процесса). Требование перенормируемости ограничило набор эффективных взаимодействий только простыми тройными вершинами. Трехмерная модель Грибова успешно использовалась для описания процессов рассеяния нуклонов и ядер, но только в рамках теории возмущений по константе связи.  Сразу было понятно, что модель Грибова содержит малый параметр - наклон реджевской траектории померона. Положив этот параметр равным нулю, мы получаем низшее приближение к физической модели. С другой стороны, действие модели Грибова устроено так, что при нулевом наклоне теряется динамическая связь между полями, заданными в разных точках двумерного пространства (имеющих смысл поперечного вектора прицельного параметра), и теория становится одномерной. Такая теория эквивалентна квантовой механике в мнимом времени, и появляется возможность исследовать ее методами квантовой механики за пределами теории возмущений. Этот подход был реализован в ряде работ, но точное решение так и не было получено. Трудность получения точного решения была вызвана тем, что соответствующее уравнение Шредингера оказывается принадлежащим к классу Гойна - более сложному типу дифференциальных уравнений, чем гипергеометрический. Однако, некоторое время назад математики достигли значительного прогресса в решении уравнений Гойна.  Основным содержанием представленной работы является решение задачи нахождения спектра гамильтониана одномерной модели Грибова. Прежде всего, для квантования одномерной модели Грибова в работе применено ставшее общепринятым представление Фока-Баргмана. В этом представлении все волновые функции являются аналитическими функциями одного комплексного переменного, а уравнение Шредингера имеет вид биконфлюэнтного уравнения Гойна. Интересно, что в отличие от многих задач квантовой механики, сводящихся к решению уравнения Гойна, волновая функция здесь не может определяться полиномом конечного порядка. Гамильтониан этой модели не является эрмитовым, но уже давно было известно преобразование подобия, которое делает гамильтониан эрмитовым относительно стандартного скалярного произведения, поэтому к этой модели применимы теоремы о полноте системы собственных состояний и вещественности спектра. Собственные состояния выделяются условием конечности нормы, которое в данном случае равносильно нулевой асимптотике волновой функции на краях отрицательной мнимой полуоси. Уравнение позволяет представить решение в виде степенного ряда, сходящегося на всей комплексной плоскости. Наложение на этот ряд асимптотического условия на бесконечности требует определения коэффициента связи между решениями в нуле и в окрестности бесконечности.  Метод вычисления коэффициента связи, найденный автором в математической литературе, основан на вычислении определителя Вронского двух решений - одного в виде сходящегося степенного ряда и другого в виде расходящегося асимптотического ряда в окрестности бесконечности, который также может быть получен из исходного уравнения. Отсутствие растущей асимптотики на бесконечности равносильно равенству нулю коэффициента связи для двух решений, регулярного в нуле и растущего на бесконечности, что и является уравнением на собственные значения энергии при постоянных остальных параметрах модели. Однако, вид получающегося уравнения довольно сложен. Коэффициент связи имеет вид бесконечной суммы ряда, каждый член которого представляет собой произведение двух функций от энергии. При этом общий вид этих функций (они имеют смысл коэффициентов разложения сходящегося и асимптотического рядов, соответственно) не найден явно, а определяется реккурентными соотношениями. Таким образом, уравнение на собственные значения энергии оказывается трансцендентным, и неясно, как получить его аналитическое решение. Возможное приближенное численное решение этого уравнения может быть предметом дальнейшего исследования.  В представленной работе Е.М.Кузьминский проявил знание математических теорий, применяемых в квантовой механике и в квантовой теории поля, таких как функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений и теория асимптотических рядов. Представленная работа, несомненно, заслуживает отличной оценки, а Е.М.Кузьминский достоин присвоения степени бакалавра физики.  Научный руководитель,  к.ф.-м.н. М.И.Вязовский