Various problems of random placement of intervals on a segment

Abstract

В настоящей работе предлагается исследовать некоторые модели задачи о "парковке". Общая постановка задачи о "парковке" имеет следующий вид. Пусть X и l - положительные вещественные числа. На отрезок длины X случайным образом располагается интервал длины l, то есть на отрезке [0,X-l] задаётся случайная величина x, и затем на отрезок [0,X] располагается отрезок [x,x+l] Этот отрезок разбивает изначальный на два меньших: [0,x] и [x+l,X], которые заполняются далее независимо. В случае, когда мы больше не сможем разместить такой отрезок, процесс заканчивается. Затем подсчитывается количество расположенных машин. это и есть интересующая нас случайная величина. В данной работе изучается асимптотическое поведение описанных выше случайных величин при помощи анализа их центральных моментов.

In this paper we propose to investigate some models of the problem of "parking". General formulation of this problem has the following form. Let X and l be non-negative real numbers. On the segment [0,X] we will randomly place an interval of length l, i.e. we will define a random value x, and put an interval [x,x+l]. This segment divides original interval into two intervals: [0,x] and [x+l,X], which will be filled independently. In the case when we can't put such interval, this process will be stopped. At the end, we will count the number of placed intervals. This is the random value we are interested at. We study asymptotic behavior of such random values by investigating their moments.