Рецензия            на выпускную квалификационную работу обучающегося в СПбГУ                                   Крюкова Николая Алексеевича на тему           “Различные задачи случайного размещения интервалов на отрезке”    Впервые задача  задача случайного размещения интервалов на отрезке в научной литературе появилась в 1958 году. Венгерский математик А.Реньи опубликовал работу “On the one-dimensional concerning space-filling”, в которой изучалось поведение среднего числа разместившихся единичных интервалов на отрезке большой длины. Задача эта пришла к Реньи из физической химии, где требовалось расчитать возможные концентрации однородных молекул в фиксированном объеме. Реньи начал с однородной модели и дал этой задаче следующую интерпретацию: на улице большой длины     последовательно паркуются автомобили одинакового размера случайным образом до тех пор, пока имеется возможность запарковаться. Общее запаркованное количество автомобилей обозначим    Эта интерпретация дала название задаче: Parking problem. Объект интереса – математическое ожидание, моменты более высоких порядков и другие свойства распределения этой случайной величины. Первый результат, полученный А.Реньи, касался асимптотики  при : существует константа (выражение для которой было дано Реньи), такая что    при любом    Позднее в работе Дворецкого и Роббинса это соотношение было уточнено и доказана асимптотическая нормальность случайной величины В ряде работ других авторов изучались различные модернизации этой задачи. Последние несколько лет интерес к этой задаче возобновился и появились работы, в которых в частности изучаются дискретные аналоги задачи о парковке.   В работе Н.А.Крюкова расмотрено несколько разных моделей или аналогов задачи о парковке. 1. Рассмотрена задача о парковке (глава 2), когда закон распределения места размещения очередного единичного интервала отличен от равномерного (что в классическом случае предполагается). Здесь изучается та же случайная величина, которая получается последовательным размещением единичных интервалов, но закон распределения начала размещаемого единичного интервала имеет плотность, которая удовлетворяет равенству:  для всех   и     иначе. Классический случай является частным случаем такой задачи.  Н.А.Крюков с помощью 2 элегантных лемм (лемма 2.1 и лемма 2.2) показал, что  все моменты имеют такое же поведение, как и в классическом случае, что позволило ему сделать вывод, что в этом обобщении будет выполняться асимптотическая нормальность. 2. Н.А.Крюковым изучалась дискретная модель задачи о парковке под названием “задача об эгоистичной парковке” (глава 3). Ранее в совместной работе С.Ананьевского и Н.Крюкова для этой модели были получены точные выражения для математического ожидания, дисперсии и третьего центрального момента числа разместившихся единичных интервалов на отрезке длины    Н.А.Крюков продолжил изучение поведения центральных моментов более старших порядков и получил для них асимптотику (Теорема 3.1). 3. Также в дипломной работе начато изучение дискретной модели задачи о парковке, когда случайным образом размещаются интервалы длины 2. (Глава 4). Ранее в работе Page E.S. “The distribution of vacancies on a line”, J.R.Statist.Soc., 1959 было показано, что в этой модели   Крюковым Н.А. получено точное выражение для  (Теорема 4.1), из чего следует результат Пэйджа. 4. Кроме того Н.А.Крюков дал общее описание рассматриваемых задач и показал, что решаемые в данной работе различные задачи подчиняются этому общему описанию. (Глава 1).    Работа написана хорошим и понятным математическим языком. Автор продемонстрировал, что он разобрался в решаемых задачах. Содержание работы полностью соответствует заявленной теме. Сформулированные результаты (теоремы и леммы) полностью доказаны.    В работе получены новые интересные результаты, которые можно рекомендовать к публикации.   Выпускная квалификационная работа Крюкова Н.А. на тему  “Различные задачи случайного размещения интервалов на отрезке” заслуживает оценки “отлично”.      Научный руководитель кандидат физ-мат наук, доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики                                       С.М.Ананьевский         31.05.2018