Normal forms of two-dimensional homogeneous cubic systems with a quadratic common factor

Abstract

Рассматриваются вещественные двумерные однородные кубические системы ОДУ, многочлены в правой части которых имеют квадратичный общий множитель. На основании должным образом введенных принципов упорядочивания множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых выделяется структурно простейшая система -- нормальная форма третьего порядка. Для матрицы коэффициентов ее правой части, называемой канонической формой (КФ), указывается каноническое множество значений, гарантирующее принадлежность системы к выбранному классу. Кроме того, для каждой КФ приводятся: a) условия на коэффициенты исходной системы, b) линейные замены, сводящие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, c) получаемые при этом значения коэффициентов КФ.

Real two-dimensional homogeneous cubic systems of ODE, polynomials in the right-hand part of which have a common quadratic factor are considered. On the basis of properly introduced ordering principles, the set of these systems is divided into classes of linear equivalence, in each of which the structurally simplest system is distinguished -- the normal form of the third order. For the coefficient matrix of its right-hand part, called the canonical form (CF), the canonical set of values is specified, which guarantees the belonging of the system to the selected class. In addition, for each CF are given: a) conditions on the coefficients of the original system, b) linear substitutions that reduce the right-hand part of the system under these conditions to the chosen CF, c) obtained values of CF's coefficients.