Lyapunov matrices for systems with distributed delay

Abstract

Проблема нахождения матриц Ляпунова возникает при анализе устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием с помощью функционалов Ляпунова-Красовского. В данной работе рассматривается вопрос построения матриц Ляпунова для скалярных уравнений с распределённым запаздыванием, имеющих кусочно-постоянное интегральное ядро. Задача сводится к нахождению решений вспомогательной системы дифференциальных уравнений без запаздывания с граничными условиями. Показывается, что решение вспомогательной системы может быть сведено к нахождению решения системы линейных алгебраических уравнений. Устанавливается, что единственность решения вспомогательной системы является необходимым и достаточным условием единственности матриц Ляпунова.

The problem of computation of Lyapunov matrices arises when Lyapunov-Krasovskii functionals are applied for stability analysis of linear time-invariant delay systems. In this contribution, we study the construction of Lyapunov matrices for scalar equations with distributed delay whose kernel is piecewise-constant. The problem is reduced to computation of solutions to an auxiliary delay-free system of differential equations with boundary conditions. It is shown that the problem of solving an auxiliary system can be reduced to the solution of system of linear equations. It is established that the uniqueness of solutions to an auxiliary system is necessary and sufficient condition for the uniqueness of Lyapunov matrices.