On scaling entropy for group actions

Abstract

В работе доказывается, что типичное сохраняющее меру действие аменабельной группы G имеет масштабированную энтропию, которая не может быть ограничена сверху данной функцией. В качестве следствия доказано, что не существует такого топологического действия группы G, для которого множество эргодических инвариантных мер совпадает с множеством всех сохраняющих меру действий группы G нулевой энтропии. Также доказано, что типичное сохраняющее меру действие остаточно конечной аменабельной группы G имеет масштабированную энтропию, которая не может быть ограничена снизу данной функцией. Приводится пример такой аменабельной группы, что любое ее свободное сохраняющее меру действие удовлетворяет данной оценке снизу на масштабированную энтропию.

We prove that a generic p.m.p. action of a countable amenable group G has scaling entropy that can not be dominated by a given rate of growth. As a corollary, we obtain that there does not exist a topological action of G for which the set of ergodic invariant measures coincides with the set of all ergodic p.m.p. G–systems of entropy zero. We also prove that a generic action of a residually finite amenable group has scaling entropy that can not be bounded from below by a given sequence. We also show an example of an amenable group that has such lower bound for every free p.m.p. action.