Renormalization group analysis of a field theoretic model of random walks on a fluctuating surface

Abstract

Теоретико-полевая ренормализационная группа применяется к простой модели случайного блуждания по шероховатой флуктуирующей поверхности. Рассматривается уравнение Фоккера–Планка для частицы в однородном гравитационном поле. Поверхность моделируется обобщенным линейным стохастическим уравнением Эдвардса–Уилкинсона для поля высот. Полная стохастическая модель переформулирована как мультипликативно перенормируемая теория поля, которая позволяет применять стандартную теорию перенормировки. Уравнения ренормализационной группы имеют несколько фиксированных точек, соответствующих возможным режимам скейлинга в инфракрасном диапазоне (большие времена и большие расстояния); все критические размеры находятся точно. В качестве примера выводится закон распространения облака частиц. Он имеет вид R^2(t)≃t^(2/Δω) с точно известной критической размерностью частоты Δω и, вообще говоря, отличается от стандартного выражения R^2(t)≃t для обычного случайного блуждания.

The field-theoretic renormalization group is applied to a simple model of a random walk on a rough fluctuating surface. The Fokker–Planck equation for a particle in a homogeneous gravitational field is considered. The surface is modeled by the generalized Edwards–Wilkinson linear stochastic equation for the height field. The full stochastic model is reformulated as a multiplicatively renormalizable field theory, which allows for the application of the standard renormalization theory. The renormalization group equations have several fixed points that correspond to possible scaling regimes in the infrared range (long times and large distances); all the critical dimensions are found exactly. As an example, the spreading law for the particle’s cloud is derived. It has the form R^2(t)≃t^(2/Δω) with the exactly known critical dimension of frequency Δω and, in general, differs from the standard expression R^2(t)≃t for an ordinary random walk.