Application of generalised Chebyshev problem theory for solving problems of damping some mechanical systems vibrations

Abstract

Рассматривается задача о гашении колебаний двух систем. Одна --- тележка с укреплённым на ней тройным математическим маятником, другая - с тройным стержневым маятником. Колебания возникают вследствие движения системы из покоя в покой. Вначале данная задача была решена как задача управления с использованием принципа максимума Понтрягина. В дальнейшем была обнаружена неголономная связь высокого порядка, выполняющаяся во всё время движения для полученного решения. После этого было получено решение с помощью метода неголономной механики, опирающегося на применение обобщённого принципа Гаусса. Данные решения были сравнены графически. При длительном времени движения второе решение имеет более гладкое поведение. Для кратковременного движения было проведено расширение краевой задачи, что позволило устранить недостаток первых двух методов --- скачки силы в начальный и конечный момент времени.

The problem of oscillations suppression of two systems was considered. One was a cart with triple methimatic pendulum, the other was with triple rod pendulum. The oscillations were appeared due to the rest-to-rest motion of the system. At first, the problem was considered as the control problem and solution was found from Pontryagin maximum principle. Then high order nonholonomic constraint was discovered. The constraint was fulfilled for all motion time. After that, another solution was gained by nonholonomic mechanic method - generalized Gauss principle. These solutions were plotted and analyzed. For the long-time motion, the second principle was smoother. For the short-time motion, the boundary-value problem was extended. This helped to eliminate the first two solutions defect - the force jumps at starting and ending times.