Sums of linear images of a set

Abstract

Пусть A - компакт единичной меры Лебега в R^n. В работе изучался вопрос о минимальном значении меры суммы по Минковскому множества А со своими проекциями на n линейно независимых прямых. Для произвольного n были доказаны оценки снизу и сверху. Для n = 2 было найдено минимальное возможное значение меры суммы при условии, что A - выпуклый компакт. Также было доказано что, при определенных ограничениях на компакт A, минимальное значение достигается, если A является выпуклым.

Let A be a compact set of unit Lebesgue measure in R^n. In the present paper we studied the question of minimizing the measure of Minkowski sum of the set A with its projections on n linearly independent lines. For arbitrary n, lower and upper bounds were obtained. For n = 2, the minimal possible value of the measure of the sum was found, provided that A is a convex compact set. It was also proved that, under certain conditions on A, the minimal value is achieved if A is convex.