Densities of lattices of translates

Abstract

Пусть 𝐾 выпуклое тело в ℝ^𝑛. Определим 𝑑𝑛,𝑛−1(𝐾) как наименьшую плотность несепарабельной решетки трансляций 𝐾. Мы доказываем оценку 𝑑2,1(𝐾) ≤𝜋√3/8 для 𝐾 ⊂ ℝ^2, причем равенство достигается тогда и только тогда когда 𝐾 это эллипс, что было предположено Эндре Макаи. Так же мы доказываем оценку 𝑑3,2(𝐾) ≤𝜋/4√3 для 𝐾 ⊂ ℝ^3, используя тела проекций. В последней части мы показываем простой способ улучшить оценку константы упаковки в ℝ^3 с 0.53835... до 0.54755... .

Let 𝐾 be a convex body in ℝ^𝑛. Let 𝑑𝑛,𝑛−1(𝐾) be the smallest possible density of a nonseparable lattice of translates of 𝐾. In this paper we prove the estimate 𝑑2,1(𝐾) ≤𝜋√3/8 for 𝐾 ⊂ ℝ^2, with equality if and only if 𝐾 is an ellipse, which was conjectured by E. Makai. Also we prove the estimate 𝑑3,2(𝐾) ≤𝜋/4√3 for 𝐾 ⊂ ℝ^3 using projection bodies. In the last section we show an easy way to improve E.H. Smith’s packing density bound in ℝ^3 from 0.53835... to 0.54755... .