On graph colorings

Abstract

В работе рассматриваются f_{(2, k)}-динамические правильные раскраски, то есть такие правильные раскраски, что в окрестности любой вершины степени хотя бы два есть вершины не менее двух разных цветов, а в окрестности любой вершины степени хотя бы k есть вершины не менее трёх разных цветов. Доказано, что для k=3,4,5,6 у любого графа, максимальная степень которого не превосходит Δ, можно списочно f_{(2, k)}-динамически раскрасить в 6/k*Δ+O(1) цветов. Для k=3,6 доказана асимптотическая точность этого результата. Доказано, что при Δ⩾︎28 граф, максимальная степень которого не превосходит Δ, можно списочно f_{(2, 6)}-динамически раскрасить в Δ+8 цветов.

In this paper f_{(2, k)}-dynamic proper colorings are considered; that is, proper colorings such that in the neighborhood of every vertex of degree at least two there are vertices of at least two different colors, and in the neighborhood of every vertex of degree at least k there are vertices of at least three different colors. For k=3,4,5,6 it is proven that every graph of maximum degree at most Δ is list f_{(2, k)}-dynamically colorable in 6/k*Δ+O(1) colors. For k=3,6 it is proven that this bound is asymptotically tight. For Δ⩾︎28 it is proven that every graph of maximum degree at most Δ is list f_{(2, 6)}-dynamically colorable in Δ+8 colors.