Contractible sets in 3-connected graphs

Abstract

Пусть G - 3-связный граф. Множество вершин W называется стягиваемым, если G(W) связен и G - W является 2-связным графом. В 1994 году, МакКуэйг и Ота сформулировали гипотезу, гласящую, что для любого натурального числа k существует натуральное m такое, что любой 3-связный граф G с числом вершин не менее m содержит k-вершинное стягиваемое множество. Эта гипотеза была доказана для всех k < 6 разными математиками. Автор утверждает, что гипотеза доказана для k = 6 в манускрипте "Стягиваемые 6-вершинные множества". Методы, использованные для этого доказательства случая k = 6 в работе "Стягиваемые 6-вершинные множества" могут быть использованы для получения доказательства случая k = 5, и это доказательство значительно короче и проще оригинального. Это доказательство мы представляем здесь. Более того, мы докажем, что, для любого k > 4 утверждение гипотезы выполнено, если минимальная степень графа G не менее, чем [(2k + 1)/3] + 2.

Let G be a 3-connected graph. A vertex set W is said to be contractible if G(W) is connected and G - W is a 2-connected graph. In 1994, McCuaig and Ota formulated the conjecture that, for any natural number k, there exists natural number m such that any 3-connected graph G with at least m vertices has a k-vertex contractible set. The conjecture has been proved for all k < 6, by various mathematicians. The author claims that the conjecture is proved for k = 6 in the manuscript "Contractible 6-vertex sets". The methods used for this proof in the work "Contractible 6-vertex sets" can be used to yield a proof in the k = 5 case that is simpler and shorter than the original proof. We present this proof here. Moreover, we prove that, for any k > 4, the assertion of the conjecture holds if the minimum degree of G is at least [(2k + 1)/3] + 2.