On edge colorings

Abstract

Рёберная раскраска графа является интересным малоизученным объектом теории графов. Одними из наиболее популярных для рассмотрения являются правильные и покрывающие раскраски рёбер. На сегодняшний день одними из наиболее известных результатов в этом направлении являются теорема Визинга и теорема Гупты, дающие две в каком-то смысле двойственные оценки на рёберный хроматический и покрывающий индексы. Возникает естественный вопрос, есть ли связь между этими двумя типами раскрасок. В данной работе изучается эта связь в терминах суммы рёберного хроматического и покрывающего индексов для связных регулярных мультиграфов, фиксируя такие параметры, как степень регулярности и максимальную кратность рёбер графа. Главным результатом настоящей работы является получение оптимальных нижней и верхней оценок на эту сумму с точным описанием значений параметров, при которых достигается равенство в этих оценках.

An edge coloring is an interesting little studied object of the graph theory. Some of the most popular edge colorings for consideration are so-called proper and cover edge colorings. Today some of the most well-known results in this area are Vising's theorem and Gupta's theorem, which provide two, in a sense, dual estimates on an edge chromatic number and on an edge cover chromatic index. The natural question then arises whether there is a connection between these two types of edge colorings. The present paper explores the connection in terms of the sum of an edge chromatic number and an edge cover chromatic index for a connected regular multigraph, provided that the regular degree and the multiplicity are fixed parameters of a graph. The main results of the paper are optimal lower and upper bounds for the sum with the precise description of the parameters' values, on which the bounds are reached.