Quasi-optimal polynomial trajectories in control problems of moving objects

Abstract

В данной работе исследован вопрос построения допустимой траектории движения нелинейной управляемой механической системы представленной в форме дифференциального включения высшего порядка. Подобная задача возникает в теории управления при построении программного движения, при этом требуется построить программное движение, которое удовлетворяло бы дифференциальное включение (фазовые ограничения) и было бы близко к оптимальному значению некоторого заданного функционала качества. Часто есть смысл рассматривать только полиномиальные траектории системы в пространстве состояний, как, например, в задаче о посадке беспилотного летательного аппарата, так как не всегда на практике требуется экстремальное управлениe, часто требуется лишь приближение к оптимальному в определенном классе функций, и, применительно к данной задаче, метод полиномиальных траекторий может быть успешно использован. Представлен способ учета фазовых и управляющих ограничений при прямом построении квазиоптимальной полиномиальной траектории в пространстве состояний дифференциального включения высшей степени. Чтобы учесть фазовые ограничения, мы используем асимптотически точную монотонную оценку диапазона значений полинома, основанную на обобщенном разложении по полиномам Бернштейна. Граничные условия учитываются с помощью полинома Эрмита. Представленный метод иллюстрируется на примере задачи терминального управления летательным аппаратом, а именно посадки на движущуюся по заданному закону платформу.

In this paper, the question of constructing an admissible trajectory of motion of a nonlinear controlled mechanical system presented in the form of a higher-order differential inclusion is investigated. A similar problem arises in control theory when constructing a motion, while it is required to construct a motion that would satisfy the differential inclusion (phase constraints) and would be close to the optimal value of some given quality functional. It often makes sense to consider only polynomial trajectories of the system in the state space, as, for example, in the problem of landing an unmanned aerial vehicle, since not always in practice extreme control is required, often only an approximation to the optimal one in a certain class of functions is required, and, in relation to a given task, the method of polynomial trajectories can be successfully used. A method is presented to take into account phase and control constraints in the direct construction of a quasi-optimal polynomial trajectory in the state space of a differential inclusion of the highest degree. To account for phase constraints, we use an asymptotically accurate monotone estimate for the range of values ​​of a polynomial based on a generalized expansion in Bernstein polynomials. The boundary conditions are taken into account using the Hermite polynomial. The presented method is illustrated by the example of the problem of terminal control of an aircraft, namely, landing on a platform moving according to a given law.