Qualitative properties of minimal separately concave functions

Abstract

В данной работе изучается поведение функций, являющихся минимальными среди всех бивогнутых функций, принимающих те же значения на границе области определения. Основной результат заключается в построении такого функционала $ \Phi $, что для любой неотрицательной минимальной бивогнутой функции $ B\colon\Omega=\{ (x,y)\in\mathbb R^2\colon x-1\le y\le x+1 \}\to[0,+\infty) $ справедливо соотношение $ B(0,0)\asymp \Phi(f)+\Phi(g) $, где $ f(t)=B(t,t-1) $ и $ g(t)=B(t-1,t) $. В качестве следствия получено описание множества граничных значений неотрицательных минимальных бивогнутых функций $ B\colon\Omega\to[0,+\infty) $.

In this paper, we study a behaviour of minimal biconcave functions. A biconcave function is called a minimal if it is the minimal among all biconcave function with same values at boundary of domain. The main result is a construction a functional $ \Phi $ such that for any non-negative minimal biconcave function $ B\colon\Omega=\{ (x,y)\in\mathbb R^2\colon x-1\le y\le x+1 \}\to[0,+\infty) $ we have $ B(0,0)\asymp \Phi(f)+\Phi(g) $, where $ f(t)=B(t,t-1) $ and $ g(t)=B(t-1,t) $. As a corollary, we describe a set of functions which can be boundary values of non-negative minimal biconcave function $ B\colon\Omega\to[0,+\infty) $.