On proper graph colorings

Abstract

В работе исследуется вопрос о верхней оценке количества правильных раскрасок в три цвета рёбер у связного 2n-вершинного графа, степени всех вершин которого равны трём. Для этого был развит метод Карпова, с помощью которого им ранее была получена более слабая версия оценки. Доказана оценка $2^n+8$ для чётных n и $2^n+4$ для нечётных n, а также найден единственный соответствующий ей пример; таким образом, в этой задаче найдена и доказана точная верхняя оценка.

In the paper the problem of finding an upper bound for the number of proper edge 3-colorings of a connected graph with $2n$ vertices whose vertices are of degree three is explored. For this the Karpov's method was developed which allowed to obtain a weaker result earlier. The estimates $2^n+8$ for even values of n and $2^n+4$ for the odd ones are shown, rather as the unique graphs corresponding to each of them were found; thus, in this problem the exact upper bound has been found and proven.