Scaling entropy and its applications

Abstract

В данной работе изучается инвариант метрических динамических систем медленного энтропийного типа — масштабированная энтропия. Данный инвариант был предложен А. М. Вершиком. В настоящей работе мы предъявляем пример динамической системы, не допускающей масштабированной энтропийной последовательности и приводим обобщенное определение масштабированной энтропии. Для нового определения мы обобщаем результаты о субаддитивности и приводим исчерпывающее семейство примеров. В качестве приложения теории масштабированной энтропии мы обобщаем результат статьи Я. Серафина на случай непериодической аменабельной группы G. А именно, мы доказываем, что не существует системы нулевой топологической энтропии, универсальной для действий группы G нулевой метрической энтропии.

In this paper, we study the slow entropy-type invariant of a dynamic system proposed by A. M. Vershik. We provide an explicit construction of a system that has an empty class of scaling entropy sequences. For this unstable case, we introduce an upgraded notion of the invariant, generalize the subadditivity results, and provide an exhaustive series of examples. As an application of the theory of scaling entropy, we generalize the result by J. Serafin to the case of a non-periodic amenable group G. Namely, we prove that there does not exist a topological zero entropy system which is universal for measure-theoretic G–actions with zero entropy