Bounds on the size of graph-walking automata

Abstract

Графоходные автоматы (graph-walking automata, GWA) исследуют графы, перемещаясь по рёбрам и используя конечное множество состояний. Известно, что любой GWA можно преобразовать к GWA, останавливающемуся на любом входе,к GWA, возвращающемуся в начальную вершину перед принятием графа, и к обратимому GWA. В первой части этой дипломной работы улучшены известные верхние оценки на увеличение числа состояний при этих преобразованиях и доказаны близкие к ним нижние оценки. А именно, показано, что для преобразования графоходного автомата с n состояниями, работающего на графах с k метками концов рёбер, к останавливающемуся автомату достаточно 2nk+1 состояний и в худшем случае требуется не менее 2(n-1)(k-3) состояний. Для преобразования к возвращающемуся автомату достаточно 2nk+n состояний и в худшем случае нужно не менее 2(n-1)(k-3) состояний. Если нужно построить автомат одновременно останавливающийся и возвращающийся, то достаточно 4nk+1 состояний и в худшем случае требуется не менее 4(n-1)(k-3) состояний. Для обратимости достаточно 4nk+1 состояний и в худшем случае нужно не менее 4(n-1)(k-3)-1.

Во второй части дипломной работы исследуется влияние гомоморфизмов графов на распознаваемость множеств графов графоходными автоматами. Рассматриваются гомоморфизмы, заменяющие вершины на подграфы, и соответствующие им обратные гомоморфизмы. Семейство множеств графов, распознаваемых графоходными автоматами, оказывается замкнуто относительно обратных гомоморфизмов. Доказывается, что для GWA с n состояниями, работающего на графах с k метками концов рёбер, обратный гомоморфный образ множества принимаемых им графов можно распознать с помощью автомата с kn+O(1) состояниями. И строится пример, в котором требуется не менее kn состояний.

Для прямых гомоморфизмов ситуация другая. В дипломной работе доказывается, что даже семейство языков, распознаваемых древоходными автоматами, не замкнуто относительно инъективных гомоморфизмов. Для доказательства этого факта строится характеризация регулярных древесных языков с помощью гомоморфизмов.

Graph-walking automata (GWA) traverse graphs by moving between the nodes following the edges, using a finite-state control to decide where to go next. It is known that every GWA can be transformed to a GWA that halts on every input, to a GWA returning to the initial node in order to accept, and to a reversible GWA. This thesis establishes lower bounds on the state blow-up of these transformations, as well as closely matching upper bounds. It is shown that making an n-state GWA traversing graphs with k labels of edge end-points, halt on every input requires at most 2nk+1 states and at least 2(n-1)(k-3) states in the worst case; making a GWA return to the initial node before acceptance takes at most 2nk+n and at least 2(n-1)(k-3) states in the worst case; Automata satisfying both properties at once have at most 4nk+1 and at least 4(n-1)(k-3) states in the worst case. Reversible automata have at most 4nk+1 and at least 4(n-1)(k-3)-1 states in the worst case.

Another problem to investigate is the effect of graph operations on recognizability by graph-walking automata. Not many operations on graphs are known. This thesis studies node-replacement graph homomorphisms and their inverses. It is not difficult to see that the family of graph languages recognized by GWA is closed under inverse homomorphisms. The main result about inverse homomorphisms is that, for n-state automata operating on graphs with k labels of edge end-points, the inverse homomorphic images require GWA with kn+O(1) states in the worst case.

As for homomorphisms, it turned out that already for tree-walking automata, the family they recognize is not closed under injective homomorphisms. The proof is based on a homomorphic characterization of regular tree languages.