New classes of minimal knot diagrams

Abstract

Работа посвящена теории узлов. Изучаются диаграммы узлов, зацеплений, кос и тенглов с минимальным числом перекрёстков, минимальным числом окружностей Зейферта и другими свойствами. Одним из основных результатов работы является описание нового класса диаграмм зацеплений с минимальным числом перекрёстков. Класс включает в себя многие альтернированные диаграммы, торические диаграммы, а также диаграммы, минимальность которых ранее не была доказана. Кроме того, описывается более широкий класс диаграмм зацеплений с минимальным числом окружностей Зейферта. Также доказываются результаты, связанные с геометрической теорией групп. В частности, описывается простой критерий того, что диаграмма косы, представляющая класс сопряженности данной однородной косы, имеет минимальное число перекрёстков.

The thesis is devoted to knot theory. We study diagrams of knots, links, braids, and tangles with the minimum number of crossings, the minimum number of Seifert circles, and other properties. One of the main results is the construction of a new class of link diagrams with the minimum number of crossings. This class includes many alternating diagrams, torus ones, and numerous diagrams whose minimality has not been proven before. Besides, we construct a new larger class of link diagrams with the minimum number of Seifert circles. Also, we provide results related to geometric group theory. In particular, we describe simple criteria on a braid diagram representing a conjugacy class of a homogeneous braid to have the minimum number of crossings.