The radiation of gravitational waves by a point-like particle

Abstract

В работе рассмотрено гравитационное поле точечного тела, движущегося с ускорением при условии, что смещение тела от его положения в начальный момент мало по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается поле. Получено решение уравнения Эйнштейна в виде сферической слабой гравитационной волны на основе подхода, который был предложен в работах О.И.Дривотина. В рамках этого подхода на компоненты метрического тензора накладываются дополнительные условия, означающие, что рассматривается решение в пространственно-временных координатах, ассоциированных с некоторой системой отсчета. Для построения решения было введено запаздывание в известное решение Шварцшильда, которое рассматривалось в приближении слабого поля. При подстановке рассматриваемого решения в тензор Риччи оказывается, что все компоненты этого тензора обращаются в ноль с точностью до членов более высокого порядка малости, что означает, что уравнение Эйнштейна удовлетворяется. Оценки порядка малости показывают, что данное решение применимо, если рассматривать движение на достаточно малом промежутке времени, или на больших расстояниях от источника, если тело движется с достаточно большим ускорением.

В работе также исследованы потоки энергии и компонент импульса на основе подхода, предложенного О.И. Дривотиным, где был введен тензор, описывающий плотность потока импульса, ассоциированного с некоторым векторным полем. Если рассматриваемое векторное поле представляет собой базисное векторное поле временной координаты, то этот тензор дает плотность потока энергии. Были вычислены плотности потоков энергии и импульса, переносимых сферической гравитационной волной, которую описывает найденное в работе решение. Оказалось, что полный поток энергии, переносимый волной, равен нулю, хотя плотности потока энергии в различных направлениях и не равны нулю. Аналогичным образом, полные потоки поперечных компонент импульса также оказываются равными нулю. Единственный ненулевой поток – это полный поток продольной компоненты импульса.

The work considers the gravitational field of a point body moving with acceleration, provided that the displacement of the body from its position at the initial moment is small compared with the distance at which the field is considered. The solution of the Einstein equation is obtained in the form of a spherical weak gravitational wave based on the approach that was proposed in the works of O.I.Drivotin. In the framework of this approach, additional conditions are imposed on the metric tensor components, which means that the solution is considered in the spatio-temporal coordinates associated with a certain reference frame. To construct the solution, a delay was introduced into the well-known Schwarzschild solution, which was considered in the weak-field approximation. When substituting the solution in question into the Ricci tensor, it turns out that all the components of this tensor vanish to within terms of a higher order of smallness, which means that the Einstein equation is satisfied. Estimates of the order of smallness show that this solution is applicable if we consider motion over a sufficiently short period of time, or at large distances from the source, if the body moves with a sufficiently large acceleration. The work also investigated the energy fluxes and momentum components based on the approach proposed by O.I. Drivotin, where a tensor was introduced that describes the density of the momentum flux associated with a certain vector field. If the vector field under consideration is a basic vector field of the time coordinate, then this tensor gives the energy flux density. The densities of energy and momentum fluxes carried by a spherical gravitational wave, which is described by the solution found in the work, were calculated. It turned out that the total energy flux carried by the wave is zero, although the energy flux densities in different directions are not equal to zero. Similarly, the total fluxes of the transverse momentum components also turn out to be zero. The only nonzero flux is the total flux of the longitudinal momentum component.