On methods for linear-quadratic differential games solution

Abstract

Рассматриваются методы решения линейно-квадратичных дифференциальных игр, основывающиеся на структурных особенностях указанных моделей. Метод, позволяющий упростить интегральный функционал линейно-квадратичной дифференциальной игры путем замены фазовой переменной, детально изучается на примере задачи оптимального управления вредными выбросами в кооперативной постановке. Поиск аналитического решения осуществляется с использованием принципа максимума Понтрягина, а также с помощью уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Производится анализ и сопоставление результатов, полученных в обоих случаях. Также рассматривается использование метода потенциала при решении линейно-квадратичных дифференциальных игр на примере некооперативной дифференциальной игры управления инвестициями в рекламу. Показывается, что игра данного типа принадлежит классу потенциальных игр, решение которых может быть упрощено с помощью нахождения потенциала игры. Продемонстрировано, что потенциал в данной игре представляет собой квадратичную форму. После применения метода потенциала решение игры реализуется с помощью принципа максимума Понтрягина. Дополнительно исследуется метод решения линейно-квадратичной дифференциальной игры при известном виде оптимального управления. Применение данного метода рассматривается на примере некооперативной дифференциальной игры управления вредными выбросами. Полученный результат сравнивается с решением, полученным с помощью принципа максимума Понтрягина.

Methods for linear-quadratic differential games solution are studied in the paper. The methods base on structural features of the pending models. Payoff functional simplification in linear-quadratic game is considered as one of those methods. It is applied in a cooperative differential game of pollution control. The optimal control problem is being solved with the aid of Pontryagin’s maximum principle as well as using Gamilton-Jacobi-Bellman equation. Obtained results are analyzed and compared. Furthermore, a method of potential is suggested in the paper. This approach is being used while solving differential non-cooperative game of advertising goodwill accumulation. It is shown that stated game belongs to the class of potential games and the process of finding its solution can be facilitated. The potential function of the game appears to be a quadratic form. After the potential method application, the Pontryagin’s maximum principle is used to solve the optimal control problem. In addition, a method for case of prior known optimal control structure is studied. This method is being applied while solving non-cooperative differential game of pollution control. The comparison of the obtained result and the one achieved using Pontryagin’s maximum principle is made.