Crystal bases for spin chains in AdS/CFT correspondence

Abstract

В работе даётся введение в теорию представлений алгебр Ли и теорию кристаллических базисов. Затем даётся введение в модель XXX_{1/2} спиновой цепочки и обсуждается приложение аппарата теории представлений к нахождению спектра данной модели. Далее обсуждается AdS/CFT соответствие между IIB теорией замкнутых струн в пространстве AdS_5 x S^5 и теорией поля N=4 SYM. В одной из статей было показано, что нахождение спектра аномальных размерностей односледовых скалярных операторов теории N=4 SYM в однопетлевом приближении равносильно нахождению спектра гамильтониана спиновой цепочки с алгеброй симметрий so(6). Для теста на соответствие этих двух теорий необходимо спектр аномальных размерностей сопоставить со спектром определённой струнной конфигурации в IIB теории струн в пространстве AdS_5 x S^5. В работе рассмотрена процедура этого сопоставления в случае алгебры su(3), являющейся замкнутым подсектором теории N=4 SYM в случае однопетлевого приближения. Таким образом возникла некоторая модификация модели XXX_{1/2} до спиновой цепочки с алгеброй симметрий su(3). К её исследованию был приложен аппарат кристаллических базисов. В системе MATLAB нами была разработана программная реализация разложения тензорной степени фундаментального представления алгебры Ли su(3) на неприводимые с помощью кристаллических базисов, что позволило выполнить один из шагов процедуры сопоставления калибровочно-инвариантных величин с обеих сторон соответствия, а именно, вычислить спектр аномальных размерностей в данном подсекторе.

In this thesis we give a brief introduction to representation theory of Lie algebras and crystal bases. Next we give an introduction to XXX_{1/2} spin chain and discuss applications of representation theory to finding its spectrum. After we give an introduction to the AdS/CFT correspondence between IIB string theory in AdS_5 x S^5 and N=4 SYM field theory. It was shown that finding spectrum of anomalous dimensions of single-trace scalar operators in N=4 SYM is equal to finding spectrum of a spin chain with so(6) symmetry algebra. To test the correspondence between these two theories one should compare spectrum of anomalous dimensions with spectrum of energies of a certain string configuration in IIB type string theory in AdS_5 x S^5 space. In this thesis we consider the procedure of this comparison in the su(3) case, which is a closed subsector in N=4 SYM at one-loop. Hence we have a modification of a XXX_{1/2} spin chain, where instead of sl(2) we have su(3) Lie algebra. To study this modification we applied crystal bases. We made a program realization using MATLAB, which decomposes tensor powers of su(3) fundamental representation into irreducible ones by means of crystal bases. This led us to completing one of the steps of the comparison of gauge-invariant quantities from both sides of the correspondence. To be exact, it helps calculate spectrum of anomalous dimensions in this subsector.