Optimal control in the problem of exploiting several resources

Abstract

Работа посвящена нахождению оптимальных управлений в дифференциальных кооперативных и некооперативных играх, в которых фазовая переменная является многомерной. При решении задачи в классе позиционных стратегий особенностью игр такого типа является то, что решение уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана является неединственным. В работе рассматриваются две задачи управления ресурсами различных типов: в главе II под ресурсами понимаются объемы вредных выбросов, а главе III – объемы инвестиций в рекламу. Показано, что задача оптимального управления в кооперативной постановке и задача нахождения равновесия по Нэшу в некооперативной постановке игры имеют неединственное решение. Отбор допустимых решений из множества полученных решений осуществлялся с помощью экономического критерия и классического метода, используемого для линейно-квадратичных задач оптимизации (LQR). В четвертой главе была рассмотрена кооперативная игра из главы III, к которой было применено преобразование фазовой переменной, существенно упростившее решение задачи.

The work is devoted to determining optimal solutions in differential cooperative and non-cooperative games with an n-dimensional state vector. When solving the problem in the class of positional strategies it turns out obi-Bellman equation may have multiple solutions. We consider the problem of resource management for two different types of resources: harmful emissions in Section II and investment into advertising in Section III.It was shown that both the optimal control problem in cooperative setting and the problem of determining the Nash equilibrium have non-unique solution. Selection of the admissible solutions from the set of obtained solutions was carried out using an economic criterion and a classical method used in the theory of linear-quadratic regulators (LQR). In Section IV we considered the cooperative game from Section III and applied a previously proposed state space transformation which substantially simplified the solution of the problem.