Modelling clamped plate bending by method of initial functions

Abstract

В работе рассматривается одна из задач прикладной теории упругости: моделирование изгиба равномерно нагруженной тонкой жестко защемленной прямоугольной изотропной пластинки. Процесс моделирования изгиба основан на методе начальных функций (МНФ). МНФ - это аналитический метод для решения краевых задач теории упругости. Он позволяет точно удовлетворять граничным условиям на двух противоположных сторонах изгибаемой пластинки. Согласно этому методу, все компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) пластинки представляются в операторном виде через четыре начальные функции, определенные на линии одной из сторон жестко защемленной пластинки. Две начальные функции определяются из граничных условий задачи, но две другие функции неизвестны. Для их определения на противоположной стороне пластинки вычисляются соответствующие граничным условиям компоненты НДС и приравниваются заданным величинам из условий задачи. В результате неизвестные начальные функции представляются в виде бесконечного ряда линейной комбинации гиперболических функций с бесконечным числом произвольных констант. А отсюда и все компоненты НДС представляются в таком же виде. В работе представлены три подхода для удовлетворения граничным условиям на двух других противоположных сторонах пластинки. Первый основан на разложении функций граничных условий в ряды Тейлора в одной точке. Второй основан на методе коллокаций - вычисление функций граничных условий в заданном наборе точек. Третий совмещает оба этих подхода - разложение функций граничных условий в ряды Тейлора в заданном наборе точек. Производится сравнение представленных подходов с известными результатами, формулируется критерий качества для сравнения подходов относительно друг друга. Приводятся результаты расчетов для жестко заделанной прямоугольной квадратной изотропной пластинки.

The paper deals with the one boundary value problem of the theory of elasticity - the modelling of the bending of a thin clamped rectangular isotropic plate with uniform loading. The process of the bending modelling is based on the method of initial functions (MIF). MIF is an analytical method for solving boundary value problems of the theory of elasticity. It makes possible to exactly satisfy the boundary conditions on two opposite sides of the thin plate. According this method, all the components of the stress-strain state (SSS) of the plate are represented through four initial functions defined on the one of the side of the clamped plate. Two initial functions are determined from the boundary conditions of the problem, but two other initial functions are unknown. To determine them, the components of the SSS corresponding to the boundary conditions on the opposite side of the plate are calculated and equated to given values of the conditions of the problem. As a result, unknown functions are represented as an infinite series of the linear combination of hyperbolic functions with an infinite number of arbitrary constants. And hence all the components of the SSS are represented in the same form. The paper presents three approaches that makes it possible to satisfy the boundary conditions on the other two opposite sides of the plate. The first one is based on the expansion of the boundary-condition functions in the Taylor series on the one point. The second one is based on the collocations method. It proposes the calculation of the boundary-condition functions in the points from the given set of the points. The third one combines two above approaches. It proposes the expansion of the boundary-condition functions in the Taylor series on the points from the given set of the points. The comparison this approaches with the known results is presented, the quality criterion for the comparison this approaches to each other is formulated. The results of analyzing of a clamped rectangular square isotropic plate are given.