Vector bundles on certain arithmetic schemes

Abstract

Мы изучаем векторные расслоения на проективной прямой над целыми числами и её компактификации по Аракелову. В частности, в работе описаны некоторые важные инварианты таких расслоений, а также теорема о существовании линейной фильтрации проинтерпретирована как соответствие между расслоениями ранга два и бинарными формами. Подробно разобран случай кубических форм. Мы также доказали, что "самые короткие" сечения расслоений с тривиальным общим слоем и простыми подскоками соответствуют целочисленным квадратичным формам фиксированного дискриминанта, имеющим минимальный след и удовлетворяющим определенным условиям локальной представимости.

We study vector bundles on the projective line over the integers and on its Arakelov compactification. In particular, we describe important invariants of such bundles and interpret the existence of linear filtrations for rank two bundles as a correspondence between vector bundles and binary forms. The case of binary cubic forms was studied in detail. We also proved that 'shortest' sections of vector bundles with trivial generic fiber and simple jumps are related to integral quadratic forms of fixed discriminant with minimal trace and satisfying certain local representability conditions.