Sandpile group of infinite graphs

Abstract

Для конечного связного графа и непустого подмножества его вершин, называемых стоками, так называемая песочная группа изучалась в разных контекстах. Было сделано несколько попыток расширить её определение на бесконечные графы. В этой работе приводится класс графов, для которых удаётся это сделать естественным способом. А именно, при некотором условии на "ограниченность" графа удаётся определить релаксацию любого ограниченного состояния, что задаёт структуру группы на всех возвратных состояниях. Показывается, что она изоморфна группе гармонических функций на графе со значениями в унитарной группе порядка 1. Также приводится несколько примеров графов, для которых песочная группа не имеет кручения или, наоборот, очень большая, что показывает значительную разницу между конечным и бесконечным случаем.

For a finite connected graph and a non-empty subset of its vertices called sinks, the so-called sandpile group has been studied in different contexts. Several attempts were made to extend its definition to infinite graphs. In this work, a class of graphs, where it is possible in a direct way, is presented. Namely, with a certain condition on "boundness" of a graph it is possible to define a relaxation of any bounded state, which equips recurrent states with a group structure. It is shown that this group is isomorphic to a group of harmonic functions on the graph with values in a circle group. Also, examples of graphs with torsion-free or big sandpile groups are given, which shows a significant difference between finite and infinite cases.