Derivation of polynomial formulations for some computational problems

Abstract

Доказательство нижних оценок на время работы является центральным направлением теории сложности алгоритмов. Мощным инструментом для доказательства нижних оценок являются, так называемые, тонкие сведения, в частности, SETH-сведения. В предположении гипотезы SETH выполняются сильные нижние оценки для различных задач, однако для многих задач до сих пор не известно, являются ли они SETH-трудными. Совсем недавно появился результат Беловой и др., который объясняет сложность построения SETH-сведений для некоторых NP-трудных задач: если бы такие сведения существовали, то выполнялись бы сильные нижние оценки на схемную сложность, доказательство которых является открытой проблемой вот уже 40 лет. Авторы используют новый инструмент для доказательства SETH-несводимости - полиномиальные представления. Если для NP-трудной задачи можно построить полиномиальное представление небольшой сложности, то скорее всего она не является SETH-трудной. В данной дипломной работе развивается идея Беловой и др.: мы находим полиномиальные представления для ряда строковых, графовых и других задач, которые не были затронуты в результате выше, как NP-трудных, так и полиномиальных.

Proving lower bounds on time complexity is a central direction of computational complexity theory. A powerful tool for proving lower bounds is the so-called fine-grained reductions, in particular, SETH-reductions. Under the assumption of the SETH conjecture, strong lower bounds hold for various problems, however, for many problems it is still not known whether they are SETH-hard. Recently, a result by Belova et al. was published, which explains the complexity of constructing SETH-reductions for some NP-hard problems: if such reductions existed, then strong lower bounds on circuit complexity would hold, the proof of which has been an open problem for 40 years. The authors use a new tool to prove SETH-irreducibility - polynomial formulations. If it is possible to construct a polynomial formulation of small complexity for an NP-hard problem, then most likely it is not SETH-hard. In this thesis, we develop the idea of Belova et al.: we find polynomial formulations for a number of string, graph and other problems that were not considered in the result above, both NP-hard and polynomial.