Enumeration of lattice paths in domains determined by linear inequalities

Abstract

В данном работе рассматриваются пути по целочисленной решётке в размерности 3 из точки (0, 0, 0) в точку (a, b, c), в которых каждый шаг состоит в увеличении одной из координат на 1 с дополнительным ограничением: в каждой точке пути первая координата должна быть не меньше, чем максимум из двух других (Далее обозначаем как F(a, b, c).

В первой части работы рассматриваются другие уже известные ограничения, такие как числа Каталана на плоскости и формула крюков, когда в каждой точке координаты линейно упорядочены

Далее, в параграфах 5 и 6, происходит вывод формулы для F(a, b, c) в виде суммы b * c слагаемых, а также явная формула, в случае когда a = b или a = c.

Затем, в параграфе 7 выводится формула для производящей функции для F(a, b, c) с помощью Теоремы Лагранжа об обращении рядов. Наконец, используя формулу, полученную в параграфе 7, мы находим асимптотику данной последовательности, когда (a, b, c) пропорционально стремятся к бесконечности

This work considers paths on an integer lattice in three dimensions from point (0, 0, 0) to point (a, b, c), in which each step consists of increasing one of the coordinates by 1 with an additional constraint: at each point on the path, the first coordinate must be not less than the maximum of the other two (Hereafter denoted as F(a, b, c)).

In the first part of the study, other known constraints are considered, such as Catalan numbers on a plane and the hook-length formula when the coordinates at each point are linearly ordered.

Next, in paragraphs 5 and 6, a formula for F(a, b, c) is derived in the form of a sum of b * c terms, as well as an explicit formula in cases where a = b or a = c.

Then, in paragraph 7, a formula for the generating function for F(a, b, c) is derived using Lagrange's theorem on series inversion. Finally, using the formula obtained in paragraph 7, we find the asymptotics of this sequence when (a, b, c) are proportionally tending to infinity.