Algorithms for Gaussian Processes on Some Geometric Structures

Abstract

Модели, основанные на гауссовских процессах, используются во многих приложениях, включая, например, геостатистику и оптимизацию. Как правило, они используются для моделирования функций на евклидовых пространствах, однако в некоторых приложениях область определения моделируемой функции оказывается неевклидовой. В этих случаях для построения моделей, основанных на гауссовских процессах, и работы с ними, требуются новые идеи и методы.

В данной работе мы разрабатываем методы для работы с гауссовскими процессами на одном конкретном классе неевклидовых пространств, на некомактных симметрических пространствах. Мы строим аналог семейства процессов Матерна на таких пространствах и обсуждаем вычислительные методы для сэмплирования и обусловливания таких процессов, а также для более широкого класса стационарных в смысле действия группы симметрий процессов. Отдельное внимание уделяется случаю пространства симметричных положительно определенных матриц, в котором предлагаются некоторые специализированные идеи для улучшения качества вычислительных алгоритмов.

Models based on Gaussian processes are used in many applications, including, for example, geostatistics and optimization. As a rule, they are used to model functions on Euclidean spaces, but in some applications the domain of the modeled function needs to be non-Euclidean. In these cases, new ideas and methods are required to build and work with models based on Gaussian processes.

We develop methods for working with Gaussian processes on one specific class of non-Euclidean spaces, on non-compact symmetric spaces. We construct an analogue of the family of Matern processes on such spaces and discuss computational methods for sampling and conditioning such processes, as well as for a wider class of processes that are stationary in the sense of the action of a symmetry group. Special attention is paid to the case of the space of symmetric positive definite matrices, where some specialized ideas are proposed to improve the quality of computational algorithms.