Stability and chaotic oscillations in fractional dynamical systems

Abstract

Основной целью данной выпускной квалификационной работы было продемонстрировать математический подход к определению динамических систем дробного порядка, основанный не на моделировании, а с использованием аналитических результатов. Таким образом, в работе были получены следующие результаты: 1) Рассмотрен вопрос порождаемости динамической системы для уравнений дробного порядка в непрерывном и дискретном случаях; 2) Разработан алгоритм расчета траекторий системы дробного порядка в дискретном случае; 3) Реализован алгоритм расчета ляпуновских показателей для временных рядов, полученных из траекторий динамических систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях; 4) Полученные алгоритмы были применены для систем дробного порядка в дискретном и непрерывном случаях на примере системы Лоренца, Хенона и логистического отображения.

The main goal of this graduation project was to demonstrate a mathematical approach to the definition of fractional order dynamical systems, based on not on modeling, but using analytical results. Thus, the following results were obtained in the work: 1) The question about generation of a dynamical system for equations with fractional order in continuous and discrete cases was considered; 2) An algorithm for calculating the trajectories of a fractional-order system in the discrete case was developed; 3) An algorithm for calculating Lyapunov exponents for time series obtained from the trajectories of fractional-order dynamical systems in discrete and continuous cases was implemented ; 4) The obtained algorithms were applied to fractional order systems in discrete and continuous cases using the Lorenz systems, Henon map and logistic map as an example.