Game-theoretic model of a rhomboid hierarchical structure

Abstract

Исследован вопрос построения ситуации равновесия по Нэшу в ромбовидной игре Г. В частности доказана лемма о существовании ситуации равновесия по Нэшу. Конкретизирована теоретико-игровая модель через определение множеств стратегий игроков, в частности, описание множеств стратегий системами линейных неравенств. Показано, что добавление связи поставок ресурсов между центром и игроком нижнего уровня приводит к появлению второй системы неравенств игрока нижнего уровня, которая учитывает формализацию производства с использованием ресурсов управляющего центра отдельно от производства с помощью ресурсов игроков среднего уровня. Построены оптимизационные задачи линейного и нелинейного программирования с параметрами и показана возможность их использования для нахождения ситуации равновесия по Нэшу. Для упрощения задачи введена кооперативная подыгра между игроками среднего уровня. Разработаны и учтены три варианта характеристических функций игроков среднего уровня для вычисления тремя разными способами минимальной гарантированной полезности, необходимой для вычисления вектора Шепли - принятого принципа оптимальности. Представлены численные примеры, показывающие различные значения вектора Шепли при использовании трех различных подходов к определению минимальной гарантированной полезности. Сформулирована в общем виде кооперативная игра на ромбовидной структуре. Для каждой из коалиции в кооперативной игре были выведены формулы для вычисления вектора Шепли. Для программной реализации был составлен алгоритм с модифицированным методом Монте-Карло, который позволил конкретнее описать методику случайного поиска для нахождения ситуации равновесия по Нэшу, значений характеристических функций в кооперативной игре и вектора Шепли через полное покрытие области допустимых решений систем линейных неравенств игроков среднего уровня. Была определена структура алгоритма, проведен алгоритмический анализ и выявлены особенности применения модифицированного метода Монте-Карло к решению задачи. По алгоритму была построена программная реализация, которая позволила численно решить данную задачу. Приведен пример выполнения программы по заданному алгоритму.

The process of finding a Nash equilibrium situation in a certain game is considered. For this purpose, the lemma on the existence of a Nash equilibrium situation and a game is proved. The game-theoretic model is concretized through the definition of sets of players ' strategies, in particular, the compilation of systems of inequalities. It is shown that the addition of the resource supply relationship between the center and the lower-level player leads to the appearance of a second system of inequalities of the lower-level player, which takes into account the formalization of production using the resources of the control center separately from production using the resources of the middle-level players. Optimization problems of linear and nonlinear programming with parameters were constructed and the possibility of finding the Nash equilibrium situation was shown. To simplify the construction of the Nash solution, a cooperative subgame between mid-level players is introduced. Three variants of characteristic functions of mid-level players are developed and taken into account for calculating the minimum guaranteed utility required for calculating the Shapley value-the accepted optimality principle-in three different ways. Numerical examples are presented showing the specifics of the values of the Shapley value when using three different approaches to determining the minimum guaranteed utility. A cooperative game based on a rhomboid structure was formulated in a general form, and equations were derived which determine the actions of players within the framework of an antagonistic game of two coalitions. For each of the coalitions in the cooperative game, formulas for calculating the Shapley value were derived. For the software implementation, an algorithm with a modified Monte Carlo method was developed, which allowed more specifically describe the random search method for finding the Nash equilibrium situation, the values of characteristic functions in a cooperative game, and the Shapley value through a complete coverage of the domain of acceptable solutions to systems of linear inequalities of middle-level players. The structure of the algorithm was determined, an algorithmic analysis was performed, and the features of applying the modified Monte Carlo method to the solution of the problem were revealed. According to the algorithm, a software implementation was built, which allowed us to numerically solve this problem. An example of executing a program using a given algorithm is given.