Synthesis of optimal trajectories for a nonlinear fourth-order system

Abstract

В работе рассматривается задача вывода управляемого объекта из заданного начального положения в начало координат с заданным значением курсового угла в конечной точке за минимальное время. Движение объекта описывается нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Исследование движения объекта проводится с помощью "классического" метода теории оптимального управления - принципа максимума. Отличие рассматриваемой постановки задачи от исследуемых и решенных ранее, заключается в наличии ограничений на значения курсового угла и скорости управляемого объекта. Кроме того, дополнительные ограничения накладываются на эти параметры движения в конечный момент времени. Предполагается, что оптимальное управление и, следовательно, оптимальная траектория движения существуют. Рассматривается частный случай движения объекта, при котором поставленная задача решается за одно переключение управления курсовым углом. Доказывается теорема о количестве точек переключения управления скоростью в этом случае. Выполняется синтез и графическая иллюстрация траекторий движения.

The problem of development of controlled object from the preset initial position to origin of coordinates with the preset value of course angle in a final point for the minimum time is reviewed in the paper. Object motion is described by a nonlinear system of ordinary differential equations of the fourth degree. The object motion research is carried out using a "classical" method of optimum control theory–a maximum principle. Distinction of the statement of the problem under consideration, from the researched and solved previously, is the restriction on course angle and speed of controlled object values. Besides additional restrictions are imposed on these movement parameters in finite time instant. It is assumed that an optimum control and, therefore, optimum motion trajectory exist. The special case of object motion where the stated problem is solved by a single switching of course angle control. The theorem is proved about the number of speed control switching points in this case. The synthesis and graphic illustration of the motion trajectories are performed.