Lower bounds for branching programs with bounded repetitions on search problems

Abstract

Ветвящиеся программы позволяют описать различные меры сложности, например, память в машинах Тьюринга или длину доказательств в пропозициональных системах доказательств. В данной работе изучается связь именно с системами доказательств, впервые описанная Ловасом и др. ’95, которые показали, что регулярная резолюция эквивалентна однопроходным ветвящимся программам для задачи поиска невыполненного клоза. Эта связь широко используется; например, в недавнем результате о сложности клики в регулярной резолюции (Атсериас и др. ’18).

Мы изучаем ветвящиеся программы с ограниченными повторениями, так называемые (1, +k)-BP (Силинг ’96), в применении к задаче поиска невыполненного клоза (Search Phi). С одной стороны, это естественное обобщение однопроходных ветвящихся программ. С другой стороны, данная модель вычислений соответствует довольно сильной системе доказательств, в которой существуют короткие доказательства для широкого класса формул, сложных для резолюции (Кноп ’17).

Мы работаем с задачей Search Phi, которая является “простой” в сравнении с известными сложными примерами для (1, +k)-BP. В работе представлена первая техника для доказательства экспоненциальных нижних оценок на (1, +k)-BP для задачи Search Phi. Для этого мы объединяем известную технику для доказательств нижних оценок на ветвящиеся программы (Силинг ’96; Силинг, Вегенер ’94; Юкна, Разборов ’98) с модификацией техники “замыкания” (Алехнович и др. ’04; Алехнович, Разборов ’03). В отличие от большинства нижних оценок на резолюцию, наша техника использует не только локальные свойства формулы, но и её глобальную структуру. Сложное семейство формул, описанное в работе, основано на потоковых формулах, описанных в (Алехнович, Разборов ’03).

Restricted branching programs capture various complexity measures like space in Turing machines or length of proofs in proof systems. In this work, we focus on the application in the proof complexity that was discovered by Lovasz et al. '95 who showed the equivalence between regular Resolution and read-once branching programs for “unsatisfied clause search problem”. This connection is widely used, in particular, in the recent breakthrough result about the Clique problem in regular Resolution by Atserias et al. '18.

We study the branching programs with bounded repetitions, so-called (1, k)-BPs (Sieling '96) in application to the Search Phi problem. On the one hand, it is a natural generalization of read-once branching programs. On the other hand, this model gives a powerful proof system that can efficiently certify the unsatisfiability of a wide class of formulas that is hard for Resolution (Knop '17).

We deal with Search Phi problem, that is “relatively easy” compared to all known hard examples for the (1, +k)-BPs. We introduce the first technique for proving exponential lower bounds for the (1, +k)-BPs on Search Phi problem. To do it we combine a well-known technique for proving lower bounds on the size of branching programs (Sieling '96; Sieling, Wegener '94; Jukna, Razborov '98) with the modification of the “closure” technique (Alekhnovich et al. 04; Alekhnovich, Razborov '03). In contrast with the most Resolution lower bounds, our technique uses not only “local” properties of the formula, but also a “global” structure. Our hard examples are based on the Flow formulas introduced in (Alekhnovich, Razborov '03).