On morphing tree drawings in 2D and 3D

Abstract

В данной работе рассматривается 3D морфинг между двумя плоскими изображениями графа-дерева с вершинами в узлах решетки. Дополнительным условием на алгоритм является то, что после каждого промежуточного шага морфинга вершины графа также оказываются в узлах решетки, а размер решетки полиномиально ограничен. Представлен алгоритм с линейным количеством шагов морфинга и небольшим размером решетки и алгоритм с сублинейным количеством шагов и большим, но все еще полиномиально ограниченным, размером решетки. Таким образом, был придуман алгоритм переводящий плоские изображения дерева между собой за сублинейное число шагов морфинга с использованием третьего измерения.

In this thesis, we study crossing-free 3D-morphs between two planar straight-line grid drawings of an n-vertex tree where each intermediate morphing step produces a 3D straight-line grid drawing. We guarantee that each intermediate drawing has a polynomially-bounded resolution. We first devise an algorithm that takes linear number of morphing steps but uses a grid of small volume. We then improve the algorithm to square root morphing step complexity with polylogarithmic factor . We also ensure that each intermediate drawing lies in a 3D grid of polynomially-bounded volume. To summarize, we devise a morphing algorithm that uses sub-linear number of morphing steps to morph between two planar straight-line grid drawings of a tree at the expense of using an extra dimension.