Central measures in Young-related graphs

Abstract

Пусть G = (V, E) - ориентированный граф. Рассмотрим градуированный натуральными числами граф, каждый уровень которого - копия множества V, а ребро с i-го уровня на (i+1)-й проводится в случае, если между соответствующими вершинами есть путь в G. Применяя эту конструкцию к графу диаграмм Юнга получаем градуированный граф, пути в котором соответствуют цепочкам вложенных диаграмм Юнга. С помощью леммы Линдстрема-Гесселя-Вьенно перечисление путей в таком графе сводится к вычислению определителей, причём это можно делать разными способами. В ряде случаев эти определители вычисляются явно. В частности, с помощью этого вычисления удаётся описать центральные меры, соответствующие двустрочечным диаграммам.

Let G = (V, E) be a directed graph. Consider a graph graded with positive integers, each level of which is a copy of the set V, and an edge from the i-th level to the (i + 1)-th level is drawn if there is a path in G between the corresponding vertices. Applying this construction to the graph of Young diagrams, we obtain a graded graph, the paths in which correspond to chains of nested Young diagrams. With the help of the Lindström - Gessel - Vienno lemma, the enumeration of paths in such a graph is reduced to the calculation of determinants, and this can be done in different ways. In some cases, these determinants are calculated explicitly. In particular, with the help of this calculation, it is possible to describe the central measures corresponding to two-row diagrams.