On Morse Index Retrieval

Abstract

Гладкая функция f, заданная в окрестности единичной сферы, называется продолжимой с индексом 𝜆, если f может быть продолжена до функции F в единичном шаре так, что F имеет единственную критическую точку и индекс Морса этой критической точки равен 𝜆. Легко показать, что функция не может быть продолжима с индексами разной четности. Мы доказываем, что препятствия к существованию функции, продолжимой со всеми возможными индексами одной четности, отсутствуют на уровне комплексов Морса-Баранникова. Кроме того, для любых двух индексов отличающихся на два, мы строим функцию в окрестности единичной сфера, которая продолжима с обоими индексами.

A smooth function 𝑓 defined in a neighbourhood of the unit sphere is said to be extendible with index 𝜆 if f can be extended to a function 𝐹 in the unit ball such that 𝐹 has a unique critical point 𝑝 and the Morse index of 𝑝 is equal to 𝜆. It is easy to see that a function 𝑓 cannot be extendible with both index 𝜆 and 𝜇 if one of them is odd and the other is even. We prove that on the level of Morse-Barannikov complexes there are no obstructions to the existence of a function 𝑓 that is extendible with all possible indices of the same parity. We also prove that for any two indices that differ by two there indeed exists a function 𝑓 extendible with either of the indices.