Study of solutions of the Mackey-Glass equation, hematopoiesis model

Abstract

Прогнозирование данных об изменении значений каких-либо параметров исследуемого процесса (временных рядов), которые измерялись в определенные моменты времени, играет существенную роль в таких областях как, например, инженерия, биология, физика, медицина, экология. Такие системы обычно представляют собой дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, поскольку прогнозирование рядов динамики включает в себя предсказание будущих событий, основываясь на результатах, которые были получены ранее. Таким образом, исследования моделей с запаздыванием представляют существенный практический интерес. Одним из стандартных примеров является модель кроветворения Мэкки-Гласса. Актуальность выбранной темы обусловлена значимостью данной модели в области биомедицины. Модель Мэкки-Гласса описывает циркуляцию подвида лейкоцитов в организме, которые в свою очередь являются основой иммунной системы человека. В данной работе представлен анализ уравнения Мэкки-Гласса. На основе вводимых данных графически построено приближенное решение уравнения с использованием классического метода Рунге-Кутты. Определена и визуально представлена область устойчивости стационарных решений, а также показана возможность приведения уравнения Мэкки-Гласса к полиномиальной системе уравнений. В процессе исследования были задействованы следующие методы: линейная аппроксимация, метод Д-разбиения, численные методы, полиномизация нелинейной части уравнения.

Prediction of data on changes in the values of any parameters of the investigated process (time series), which were measured at certain points in time, plays a significant role in such areas as, for example, engineering, biology, physics, medicine, and ecology. Such systems are usually differential equations with a retarded argument, since predicting a time series involves predicting future events based on results that were obtained earlier. Thus, studies of models with delay are of substantial practical interest. One of the standard examples is the Mackey-Glass blood model. The relevance of the chosen topic is due to the significance of this model in the field of biomedicine. The Mackey-Glass model describes the circulation of a subspecies of white blood cells in the body, which in turn are the basis of the human immune system. This paper presents an analysis of the Mackey-Glass equation. Based on the input data, an approximate solution of the equation is graphically constructed using the classical Runge-Kutta method. The stability domain of stationary solutions is defined and visually presented, and the possibility of reducing the Mackey-Glass equation to a polynomial system of equations is shown. The following methods were used in the research: linear approximation, D-decomposition method, numerical methods, polynomization of the nonlinear part of the equation.