Taylor series method for differential equations of dynamic models

Abstract

Метод рядов Тейлора - один из самых популярных численных методом для решения систем дифференциальных уравнений динамики. Многие дифференциальные уравнения динамики можно свести к полиномиальной форме. Это означает, что на каждом шаге численного интегрирования этих уравнений нужно оценить много разных многочленов от многих переменных, и поэтому минимизация времени вычисления системы одночленов в правых частях является важной задачей. Рассматривается схема последовательных умножений, минимизирующая набор многомерных мономов и алгоритм, который для данной системы мономов третьего порядка сводит исходную задачу к задаче линейного бинарного программирования и вычисляет такую ​​схему. Затем рассмотрим дифференциальные уравнения задачи N тел (при N = 3,…, 10) и сводим все эти уравнения к полиномиальной форме. Это означает, что для ускорения процесса численного интегрирования естественно свести к минимуму общие затраты на оценку всех разных одночленов в правых частях дифференциальных уравнений. Оказывается, что время вычисления систем мономов существенно снижается. После этого приводятся сравнительные данные (относительные погрешности координат и скоростей тел и машинное время) для численного интегрирования этих систем на интервале [0, T] с использованием двух различных алгоритмов метода рядов Тейлора.

One of the popular methods for numerical solving systems of differential equations of Dynamics is Taylor series method. Many differential equations of Dynamics one can reduce to polynomial form. It implies that at every step of numerical integration of these equations, one needs to evaluate many different multivariate monomials for many values of variables, and that is why minimizing the evaluation cost of a system of monomials in the right-hand sides is an important problem. Here is describte a scheme of successive multiplications minimizing the total cost of evaluation of multivariate monomials of a system of monomials and the algorithm, which for a given system of third order monomials reduces the original problem to the linear programming problem, and computes such a scheme. Then we consider the differential equations of the N- body problem (for N= 3, , 10) and reduce all these equations to the polynomial form. It implies that to speed up the process of numerical integration it is natural to minimize the total cost of evaluation of all different monomials in right-hand sides of the differential equations. It turns out that the total evaluation cost of systems of monomials is reduced substantially. Also present comparative data (the relative errors of the coordinates and velocities of bodies and CPU times) for numerical integration of these systems on the interval [0, T] using two different Taylor series method algorithms.