Two-way permutation automata: transformation to one-way and the non-emptiness problem

Abstract

В работе впервые изучены sweeping перестановочные автоматы, которые двигаются по входной строке, проходя её поочерёдно слева направо и справа налево, и имеют биективную функцию переходов. Доказано, что они распознают то же семейство языков, что и классические перестановочные автоматы (Thierrin, "Permutation automata", Mathematical Systems Theory, 1968). Доказательство конструктивное: двусторонний перестановочный автомат с n состояниями преобразуется к одностороннему перестановочному автомату с не более, чем F(n)=max_{k + l = n, m <= l} k * { l \choose m} * {k - 1 \choose l - m} * (l - m)! состояниями (здесь максимум берется по всем разбиениям числа n на k состояний с переходами направо и l состояний с переходами налево, и m — число состояний, из которых нет перехода по метке начала строки). В работе также доказано, что это число состояний необходимо в худшем случае, и его рост оценён как F(n) = n^{n/2 - (1 + ln(2))/2 * n/ln(n) * (1 + o(1))}.

Во второй части работы исследована сложность задач распознавания свойств, таких как пустота, универсальность, эквивалентность и включение, для различных видов обратимых конечных автоматов. Для перестановочных автоматов они все L-полные. Для перестановочных автоматов со множественными начальными состояниями пустота L-полная, а остальные — co-NP-полные. Для sweeping перестановочных автоматов все задачи co-NP-полные, но задача с ограничением на длину строки оказывается PSPACE-полной. Для обратимых автоматов результаты такие же, как для детерминированных автоматов, но универсальность проще: L-полная для одного начального состояния (ср. NL-полная для DFA), co-NP-полная для множественных начальных состояний (ср. PSPACE-полная для DFA со множественными начальными) и co-NP-полная в случае sweeping автоматов (ср. PSPACE-полная для двусторонних DFA). Также в работе изучены задача о минимальности и унарный случай.

This work introduces sweeping permutation automata, which move over an input string in alternating left-to-right and right-to-left sweeps and have a bijective transition function. It is proved that these automata recognize the same family of languages as the classical one-way permutation automata (Thierrin, "Permutation automata", Mathematical Systems Theory, 1968). The proof is constructive: an n-state two-way permutation automaton is transformed to a one-way permutation automaton with at most F(n)=max_{k + l = n, m <= l} k * { l \choose m} * {k - 1 \choose l - m} * (l - m)! states (here the maximum is over all partitions of n into k states with transitions to the right and l states with transitions to the left, where m states have no transitions on the left end-marker). This number of states is proved to be necessary in the worst case, and its growth rate is estimated as F(n) = n^{n/2 - (1 + ln(2))/2 * n/ln(n) * (1 + o(1))}.

In the second part of this work, for different kinds of reversible finite automata, the complexity of decision problems, such as emptiness, universality, equivalence and inclusion, is investigated. For permutation automata they are all L-complete. For permutation automata with multiple initial states, emptiness is L-complete and the rest are co-NP-complete. For sweeping permutation automata all are co-NP-complete, whereas length-bounded emptiness is PSPACE-complete. For reversible automata, the results are similar to deterministic automata, but universality is easier: L-complete for one initial state (cf. NL-complete for DFA), co-NP-complete for multiple initial states (cf. PSPACE-complete for multiple-entry DFA) and co-NP-complete in the sweeping case (cf. PSPACE-complete for two-way DFA). The minimality problem and the unary case are also investigated.